20.5. Кутове прискорення в загальному випадку

Відношення приросту кутової швидкості до відповідного проміжку часу дорівнює:

(20.9)

де - середнє кутове прискорення. Середнім кутовим прискоренням нерівномірного обертального руху називається кутове прискорення такого рівнозмінного обертального руху, у якому кутова швидкість одержує той самий приріст і за той самий проміжок часу , що й у нерівномірному обертальному русі. При маємо:

. (20.10)

Кутове прискорення дорівнює першій похідній за часом від кутової швидкості або другій похідній за часом від кута повороту .

20.6. Вектори кутової швидкості та кутового прискорення

Обертальний рух тіла навколо нерухомої осі визначається трьома елементами: а) положенням осі обертання в просторі; б) величиною кутової швидкості обертання; в) напрямком обертання.

У заданому масштабі відкладаємо вздовж осі обертання від довільної точки О вектор так, щоб обертання тіла відбувалось проти руху годинникової стрілки, якщо дивитись у напрямку від кінця вектора до його початку. Уведений тут вектор характеризує одночасно всі три елементи обертання тіла та називається вектором кутової швидкості обертання (рис. 20.2).

Кутове прискорення - це вектор , який характеризує бистроту зміни в часі вектора кутової швидкості:

. (20.11)

В

Рис. 20.2

Рис. 20.2

ектор та його приріст можуть мати напрямок тільки вздовж осі обертання. Отже, вектор також має напрямок уздовж нерухомої осі обертання. Якщо обертання прискорене, то вектори кутової швидкості і кутового прискорення мають напрямок в один і той же бік (див. рис. 20.2). Коли обертання сповільнене, то абсолютна величина кутової швидкості зменшується, а вектори кутової швидкості й кутового прискорення мають протилежні напрямки.

20.7. Швидкість і прискорення довільної точки тіла при обертальному русі

Траєкторією довільної точки М тіла, що обертається навколо нерухомої осі, є коло, радіус якого позначимо через h. Виберемо на траєкторії початкову точку М₀ для відліку дугової координати S (рис.20.3 а). Рівняння руху точки в натуральній формі буде таким:

. (20.12)

а) б)

А

Рис. 20.3 а, б

лгебраїчна величина швидкості дорівнює:

(20.13)

або

.

Д

Рис. 20.3, а, б

отичне прискорення точки М дорівнює:

. (20.14)

Нормальне прискорення точки М дорівнює:

. (20.15)

Величина прискорення точки М тіла дорівнює:

. (20.16)

Кут (рис. 20.3 б) між радіусом обертання h і вектором прискорення визначається за формулою:

. (20.17)

Кут однаковий для всіх точок тіла у даний момент часу.

20.8. Формула Ейлера

Розглянемо швидкість довільної точки М твердого тіла, яке обертається навколо осі Оz (див. рис. 20.3 а). Швидкість точки М за величиною дорівнює добутку віддалі МС точки М від осі обертання та величини кутової швидкості , а за напрямком перпендикулярна до площини, що проходить через вісь обертання й точку М.

Вектор можна обчислити за формулою:

, (20.18)

де - вектор кутової швидкості обертання тіла; - відкладене від точки О на осі обертання (на рис. 20.3 а - від початку координат О).

Отже, вектор швидкості будь-якої точки твердого тіла в обертальному русі дорівнює векторному добутку кутової швидкості та радіуса-вектора точки. Формула (20.18) – одна з найважливіших у кінематиці. Вона називається формулою Ейлера.

З формули (20.18) маємо:

(20.19)

Якщо за вісь обертання приймемо вісь Оz, то

;

(20.20)

З формули (20.18) знайдемо також вектори прискорень і точки М:

тут

.