1.7 Комбинированные модели (a-схемы)

Для формального описания поведения непрерывных и дискретных, детерминированных и стохастических систем, то есть агрегативных систем, применяются A-схемы, которые должны выполнять следующие функции: являться адекватным математическим описанием системы, служить основой для построения алгоритмов и программ при машинной реализации модели , позволять проводить анализы исследования для частных случаев.

В качестве элемента A-схемы выступает агрегат, а связь между агрегатами (внутри системы S и с внешней средой E) осуществляется с помощью оператора сопряжения , в свою очередь, агрегат сам может рассматриваться как A-схема, разбиваясь на элементы (агрегаты) следующего уровня.

Существующий агрегат характеризуется следующими множествами:

– входных сигналов ;

- выходных сигналов ;

- состояний в любой момент времени

Переход из в происходит за малый интервал времени как скачок , определяясь внутренними параметрами агрегата и входными сигналами .

Ели заданы начальные состояния и процесс функционирования агрегата (скачков состояния ) в моменты поступления входных сигналов определяется случайным оператором , тогда в момент : .

Если интервал ( ) не содержит ни одного момента изменения поступления сигналов, то для состояние агрегата определяется случайным оператором. И в соответствии с соотношением описывает особые состояния A-схемы в особые моменты времени .

Для описания агрегативной системы необходимо создать A-схему, состоящую из:

1) отдельных агрегатов , имеющих входные контакты, на которые поступает совокупность элементарных сигналов , , и выходных контактов, с которых снимается совокупность элементарных сигналов ;

2) связей между , причем учитываются следующие общие закономерности:

- взаимодействие между A-схемой и внешней средой E, между осуществляется при передаче сигналов, не учитываются взаимные влияния, существующие вне механизма обмена сигналами;

- для описания сигнала достаточно конечного набора характеристик;

- элементарные сигналы мгновенно передаются в A-схеме независимо друг от друга по элементарным каналам;

- к входному контакту любого элемента A- схема подключается не более одного элементарного канала, к выходному контакту - любое конечное число элементарных каналов, при условии, что ко входу одного и того же элемента A-схемы направляется не более одного из элементарных каналов.

Взаимодействие A-схемы с внешней средой E интерпретируется как обмен сигналами между A и E, тогда E представляем как фиктивный элемент системы , вход которого имеет в входных контактов и выход выходных контактов .

Информация, циркулирующая в системе делится на внешнюю, поступающую извне от агрегатов, не являющихся элементами рассматриваемой системы, и внутреннюю, которая вырабатывается агрегатами A-схемы. Агрегаты, через которые происходит обмен с окружающей средой, называются полюсами (входными и выходными), остальные агрегаты называются внутренними.

Оператор , сопоставляющий входному контакту выходной контакт схемы, называется оператором сопряжения элементов (агрегатов).

Оператор сопряжения задается в виде таблицы, для которой строки - номера агрегатов (элементов); столбцы – номера контактов; элементы соединение элемента (агрегата) и контакта с контактом .

Помимо сопряжения контактов серьезную роль играют согласование совокупности элементарных сигналов, поступающих в элементарный канал от выходных контактов, воспринимаемых входными, а также влияние реальных средств передачи сигналов на их содержание.

Итак, упорядоченную совокупность числа агрегатов , системы S, агрегата , характеризующего внешнюю среду E и оператора R, реализующего отображение называют A-схемой, если:

1. 

2. , то

3. (момент выдачи непустого элементарного сигнала периода функции системы ) и , где - означает, что сигналы между агрегатами A-схемы передаются мгновенно без искажений и перекодирований, изменяющих структуру сигнала; - предусматривает, что сигналы передаются непосредственно от одного агрегата, к другому без устройств, отсевающих сигналы по каким-либо признакам; условие согласования функционирования агрегатов во времени.

Для того чтобы A-схема была адекватной реальному объекту, достаточно описать селектирующие устройства, реальные средства передачи сигналов и всевозможные вспомогательные устройства как самостоятельные агрегаты, связи между которыми удовлетворяют перечисленным выше ограничениям.

Пример. Пусть структура агрегативной системы имеет вид:

Оператор сопряжения этой схемы можно представить в виде таблицы:

по выходам ( )

номер агрегата	номер контакта
	1	2	3	4	5
0	1,1	3,1	4,1	5,1	6,1
1	0,1
2	1,3	0,2	0,3
3	1,2	2,1
4	3,2	2,1	2,2
5	2,2
6	5,2	0,4

Элементы таблицы , где - контакт; - агрегат; - номер агрегата; номер контакта

Пример. Рассмотрим представление некоторой системы в виде отдельного агрегата.

Рассмотрим СМО и представим ее в виде A- схемы (пусть СМО однофазная и одноканальная). В моменты времени , образующие однородный поток случайных событий, в прибор поступают заявки, каждая из которых характеризуется случайным параметром . Если обслуживающий канал занят, то заявка поступает в накопитель и может ждать там, не более им , где - параметр, характеризующий производительность системы обслуживания. Если к моменту заявка не будет принята к обслуживанию, то она теряется. Время обслуживания заявки . Представление Q-схемы в виде A-схемы требует описание ее состояния в виде вектора , где - время оставшееся до окончания обслуживания заявки, которая находится в канале ,

- количество заявок в приборе ,

- параметр k-той заявки в накопителе,

- оставшееся время ожидания k-той заявки в накопителе до момента, когда она получит отказ.

, где - входные сигналы (заявки) поступают в A-схемы в момент и принимают значение . Рассмотрим операторы описывающие такой агрегат. Пусть в момент поступает новая заявка, тогда опишем :

Пусть , то есть обслуживание очередной заявки окончено. Этот момент является особым, так как в этот момент достигает , то есть поэтому скачок состояний определяется оператором вида

Еще один особый момент времени , не является моментом поступления входного сигнала, а является моментом, когда истекает время ожидания одной из заявок, и число заявок в системе уменьшается на 1, состояние определяется оператором

В полуинтервалах между особыми моментами времени и , к которым относятся моменты поступления в A-схему входных сигналов и выдачи выходных сигналов, состояния A-схемы изменяются по закону :

Выходными сигналами A-схемы считаются сведения о заявках, покидающих прибор .

Пусть , где - признак (если заявки обслужены , если заявки не обслужены ); - совокупность сведений о заявке; , то есть заявки поступили в СМО с параметром . [18]