3 Дискретные стохастические модели (р-схемы)

3.1. На вход системы поступают три потока сообщений. Из­вестны вероятности р_i поступления за время сообщений i-х потоков, причем Р₁=0,1;Р₂ =0,2;P₃ =0,4; вероятность не поступ­ления сообщения за время P₀ =0,3. Разработать автоматную мо­дель потока сообщений. Сделать классификационную характеристику выбранного автомата.

3.2. Канал передачи дискретной информации описывается бино­миальной моделью ошибок. Известна вероятность искажения символа кода Р₀ = 10^-2. Информация передается корректирующим ходом дли­ною шесть символов, обнаруживающим две ошибки. Разработать автоматную модель, применив правило правильный автомат второго рода.

3.3. На поверхности осуществляется случайный поиск точки А. Схеме поверхности и искомая точка А, показаны на рисунке. Пере­ход в любом направлении по горизонтали или по вертикали равно­вероятен. Начальная точка поиска В. Разработать автоматную модель процесса поиска и найти вероятность нахождения точки А как финальную вероятность состояния. При решении системы линейных уравнений целесообразно использовать ЭВМ.

А

3.4. Поток деталей поступает для обработки на три станка, каждый из которых выполняет одну и ту же операцию, но с различным временен выполнения. Поток деталей является пуассоновским с пара­метром, равным , а время выполнения операции на i-м станке описывается экспоненциальным распределением с параметром . Разработать автоматную модель, позволяющую исследовать функционирование системы по тактам . В качестве состояний предлагает­ся взять множество , где z₀ - состояние, в котором все станки не заняты работой; z₁ - состояние, в котором занят работой один из станков; z₂ - состояние, 'в котором заняты работой любых, два станка; z₃ - состояние, в котором заняты работой все три станка. Модель представить в виде марковского автомата с функцией переходов, заданной матрицей:

4 Непрерывные стохастические модели (q-схемы)

4.1 Для каждого из приведенных условий подберите примеры, иллюстрирующие характер функционирования системы массового обслуживания:

• требования поступают в обслуживающую систему по одному;

• требования поступают в обслуживающую систему пачками;

• порядок поступления требований в систему известен заранее;

• поступления требований в систему случайны;

• источник требований неограничен;

• источник требований имеет ограниченную мощность;

• в очередь становится каждое из поступивших требований;

• возможен отказ со стороны поступивших требований от присоединения к очереди;

• имеет место дисциплина очереди «первым пришел – первым обслуживаешься»;

• имеет место дисциплина очереди «последним пришел – первым обслуживаешься»;

• имеет место случайный порядок обслуживания;

• дисциплина очереди построена на определенной системе приоритетов;

• присоединившиеся к очереди требования не покидают систему до тех пор, пока их не обслужат;

• некоторые требования покидают систему, не дождавшись обслуживания из-за фактора времени;

• имеется единственная очередь;

• имеется несколько параллельных очередей;

• возможен переход из очереди в очередь;

• обслуживающие приборы функционируют параллельно;

• обслуживающие приборы расположены последовательно;

• скорость обслуживания не зависит от длины очереди;

• скорость обслуживания зависит от длины очереди.

4.2 Выбрать операционные характеристики, которые необходимо измерить количественно, для расчета основных параметров работы СМО и оценки эффективности соответствующей функциональной системы.

3. Определить оптимальное число телефонных номеров фирмы при условии, что заявки на переговоры поступают с интенсивностью λ=90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону t_обс=2мин. Определить показатели сначала для n=1 (одноканальной СМО). Интенсивность потока обслуживания μ=1/t_обс = 30 заявок/час. Интенсивность нагрузки ρ=λ/μ=3.

4. На АЗС есть 3 колонки, около станции 3 места для ожидания. На станцию в среднем прибывают 2 машины/мин. Среднее время заправки 1 машины – 1мин. Определить вероятность отказа от обслуживания и среднюю длину очереди.

5. В пункте химчистки 3 аппарата, интенсивность потока посетителей λ=6 ед/ч. Интенсивность обслуживания одним аппаратом μ=3ед/ч. Среднее количество требований покидающих очередь не дождавшихся обслуживания υ=1ед/ч. Найти абсолютную пропускную способность этого пункта.

6. На стоянку с пассажирами через промежутки времени, описываемые экспоненциальным распределением, прибывают такси. Пассажиры также прибывают в соответствии с пуассоновским законом. Интенсивность прибытия такси – λ₁, а интенсивность прибытия пассажиров – λ₂. В начальный момент времени t=0 нет пассажиров и нет такси, а в момент времени t на стоянке Х пассажиров и Y такси. Случайная величина Z=X-Y определит среднее значение очереди. Необходимо определить среднее значение z₁ случайной величины Z и дисперсию D(Z).

7. Магазин имеет 4 кассы, обслуживающие все отделы. Время обслуживания каждой кассой описывается функцией распределения В(t)=1-e^-μt. Разработайте модель СМО для случая, когда поток покупателей пуассоновский с параметром λ. Во сколько раз изменится среднее время ожидания при 3 и 2 работающих кассах. Чему равно среднее время ожидания ω₁ в очереди перед кассами?

8. На стол контролера поступает поток деталей, интервалы времени между моментами поступления которых описываются распределением А(t)= 1-е^-λt. Деталь бракуется с вероятностью Р и удаляется. Найти математическую модель потока небракованных деталей.

9. На вход распределительного устройства поступает поток деталей, описываемый законом Пуассона с параметром λ. Устройство распределяет детали в порядке их поступления по n+1 направлениям, так что деталь с номером i mod (n+1), будет отправлена по i-му направлению. Получить модели потоков, расходящихся по n+1 направлениям в виде функции распределений длин интервалов между деталями А_i (t).

10. На вход одноканальной СМО, имеющей постоянное время обслуживания в=1/μ, поступает пуассоновский поток заявок с параметром λ. Определить модель в виде распределения периода занятости. Определить среднее время периода занятости π₁.

11. ЭВМ обслуживает запросы первого (старшего) и второго приоритетов. Потоки запросов каждого из приоритетов описываются законами Пуассона с параметрами λ₁ и λ₂ соответственно. Запросы обслуживаются в соответствии с экспоненциальными законами распределения времени обслуживания. Для заявок первого приоритета В₁(t)=1-е^-μt, для заявок второго приоритета В₂(t)=1-e^-μt. Определить модель в виде распределения периода занятости П(t) или его характеристической функции π(s). Найти среднее время периода занятости π₁.

12. На вход СМО поступает пуассоновский поток заявок с параметром λ. Время обслуживания в каждой заявки постоянно и равно в=1/μ. Найти математическую модель в виде функции распределения периода занятости П(t).

13. На участок цеха, содержащий n станков, поступают детали. Поток деталей пуассоновский с параметром λ. Детали обрабатываются на станках независимо друг от друга. Время обработки на всех станках определяется одним экспоненциальным распределением с параметром μ. Разработать модель участка, позволяющую найти среднее число деталей m_ср, ожидающих обработки; вероятность р₃ того, что все станки заняты; среднее время ожидания t_ож.

14. Разработать модель в виде СМО автоматизированной телефонной станции, которая позволил бы оценить следующие показатели: р₀ – вероятность того, что все линии будут свободны; р_отк – вероятность того, что абоненту будет отказано в обслуживании; N₃ – среднее число занятых линий связи; к₃ – коэффициент загрузки линий связи; N₀ - среднее число свободных линий связи; к_n – коэффициент простоя линий. Станция имеет n=5 линий связи. Поток требований на ведение разговоров пуассоновский с параметром λ – два вызова в единицу времени. Продолжительность каждого разговора подчинена показательному закону распределения. Среднее время t_обс. необходимое для ведения разговора, равно одной единицы времени.

15. Специализированный пост диагностики представляет собой однока­нальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3. Если все стоянки заняты, то очеред­ной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику, распре­делен по закону Пуассона и имеет интенсивность λ = 0.85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному за­кону и в среднем составляет 1.05 час. Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.

4.16 На вход системы передачи информации сообщения поступают группами. Число сообщений в группе постоянно и равно m = 3. Поток групп сообщений простейший с плотностью λ = 5. Время передачи описывается показательным законом с математическим ожиданием 0,2сек. Поступающие сообщения, застав все каналы передачи информации занятыми, теряются. Разработать модель в виде СМО, которая позволила бы определить: Р_отк – вероятность потери информации, к₃ - коэффициент загрузки системы, к_n – коэффициент простоя каналов. Определить, сколько каналов должна иметь система, чтобы Р_отк <=0,05. Найти для этого случая к_n, к_3.

4.17 Рассматривается работа электронной цифровой вычислительной машины (ЭЦВМ). Среднее время безотказной работы ЭЦВМ равно 1/λ; поток отказов ЭЦВМ – простейший с параметром λ. Если в машине происходит сбой, то она останавливается и непрерывность устраняется. Среднее время устранения неисправности равно 1/μ; поток восстановлений ЭЦВМ – простейший с параметром μ. Определить вероятность того, что ЭЦВМ в момент времени t будет работать, если она в момент времени t = 0 работала.

18. Рассматривается n-канальная система массового обслуживания смешанного типа, на вход которой поступает простейший поток заявок с плотностью λ. Число мест в очереди m. Время ожидания заявки в очереди Т_ож распределено по показательному закону со средним значением t_{ср ож} = 1/υ. Время обслуживания показательное со средним значением t_{ср об} = 1/ μ. Определить вероятности состояний системы. Найти вероятность Р_обс того, что заявка будет обслужена.

19. Рассматривается работа автозаправочной станции (АЗС), на которой имеется четыре заправочных колонки (n=4). Заправка одной машины длится в среднем 3 минуты. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди практически неограниченно. Все машины, вставшие в очередь на заправку, «терпеливо» дожидаются своей очереди. Определить среднее время, проходящее с момента прибытия машины на заправку, до момента её заправки, а также другие характеристики работы АЗС: среднее число занятых мест k_ср, среднее число машин в очереди s_ср, среднее время простоя колонки между заправками.

20. Рассматривается система массового обслуживания следующего типа. Имеется m источников заявок (например, станков, которые могут требовать ремонта); они обслуживаются n каналами (например, бригадой из n наладчиков). Каждый источник заявок порождает поток заявок с плотностью λ, но только пока он не обслуживается; на время обслуживания поток заявок прекращается (станок останавливается и новых неисправностей не возникает). Обслуживание одной заявки продолжается в среднем время t_{ср об} = 1/μ. Если заявка застает все каналы занятыми, она становится в очередь и ожидает неограниченное время. Определить вероятности состояний системы.

21. Пусть имеется 2-канальная СМО с числом мест в очереди 3. Интенсивность входного потока заявок составляет 6 заявок в час. Среднее время обслуживания одной заявки равно 90 мин. Требуется проанализировать работу СМО.

22. Рассматривается работа автоматической телефонной станции, рассчитанной на одновременное обслуживание 20 абонентов (двадцатиканальная СМО). Вызов на АТС поступает в среднем через 6 с. Каждый разговор длится в среднем 2 мин. Если абонент застает АТС занятой, то он получает отказ. Найти вероятность того, что абонент, вызывая АТС, не застанет ее занятой и найти следующие характеристики работы СМО: среднее число занятых каналов, вероятность занятости канала, среднее время простоя канала.

23. С целью увеличения дальности беспосадочного полета производится дозаправка самолетов горючим в воздухе. В районе дозаправки постоянно дежурят 4 самолета–дозаправщика. Дозаправка в среднем длится 10 минут. Если все дозаправщики заняты, то самолет, нуждающийся в заправке, может ожидать, совершая полет в течение 20 минут в районе дозаправки. Если же при этом он так и не дождался дозаправки, то он совершает посадку на запасной аэродром. Интенсивность полетов такова, что в среднем в район дозаправки прибывает 24 самолета. Определить вероятность того, что самолет будет заправлен, среднее число занятых дозаправщиков, вероятность занятости произвольно выбранного дозаправщика, среднее время простоя дозаправщика, среднее время цикла работы дозаправщика.

24. Группа из 10 рыболовных траулеров обслуживается одной плавучей базой, принимающей на переработку рыбу и обеспечивающей траулер необходимыми материалами. Среднее время плавания траулера равно 3 суткам, на базе есть причал и среднее время обслуживания траулера равно 8 часам. Определить среднюю длину очереди, среднее время простоя траулера, среднее время простоя базы, среднее время ожидания заявки в очереди.

25. Группа из 10 рыболовных траулеров обслуживается одной плавучей базой, принимающей на переработку рыбу и обеспечивающей траулер необходимыми материалами. Среднее время плавания траулера равно 3 суткам, на базе есть 3 причала и среднее время обслуживания траулера равно 8/3 часа. Определить среднюю длину очереди, среднее время простоя траулера, среднее время простоя базы, среднее время ожидания заявки в очереди.

26. Рассматривается работа столовой. Обеды выдают 4 человека. Количество мест для размещения людей, уже получивших обед, всегда достаточно. Среднее время выдачи обеда для одного посетителя равно 4 мин. Прибывает в среднем 2 человека в минуту, и в очереди могут одновременно находиться не более 20 человек. В среднем посетитель стоит в очереди 10 минут, после чего он покидает столовую. Определить вероятность того, что посетитель, направляющийся в столовую, пообедает, и выяснить, сколько на это ему понадобится времени, если на прием пищи в среднем затрачивается 10 мин. Определить количество столов, которое необходимо иметь в столовой, чтобы с вероятностью 0,95 посетитель, получивший обед, смог найти себе место, если у каждого стола есть 4 места для размещения посетителей столовой.