1.4 Непрерывно-стохастические модели

Непрерывно-стохастические модели (Q-схемы) реализуются схемами систем массового обслуживания (querring system, СМО). В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки комплектующих на конвейере, заявки на обработку информации на ЭВМ и другие. Характерно, что появление заявок (требований) случайно, и завершение обслуживания происходит в случайные моменты времени.

В любом элементарном акте обслуживания можно выделить две основные составляющие: ожидание обслуживания заявкой и собственно обслуживание заявки, поэтому -ый прибор обслуживания П_i состоит из накопителя заявок , в котором может находиться одновременно заявок ( - емкость накопителя) и канала обслуживания . Потоком событий называется последовательность событий, происходящих одно за другим в случайные моменты времени. Поток называется однородным, если он характеризуется только моментами поступления этих событий (вызывающими моментами) и задается последовательностью , где - момент наступления n-го события. Поток называется неоднородным, если он зависит от моментов поступления и набора признаков события (принадлежности к определенному источнику заявок, наличия приоритета ограничений по типу канала обслуживания и др). На каждый элемент П_i поступают потоки событий, в накопитель - поток заявок , на канал - поток обслуживаний U_i. Процесс функционирования прибора представляется как процесс изменения состояний его элементов во времени , переход в новое состояние означает изменение количества заявок, которые в нем находятся. Для Q-схем, образованных композицией многих элементарных приборов используются сети массового обслуживания. Если каналы различных приборов обслуживания соединены параллельно, то Q-схема многоканальная, если П_i и их параллельные композиции соединены последовательно, то Q-схема многофазная. Связи между элементами Q-схемы изображают стрелками – линиями потока с направлением движения потока.

В разомкнутой Q-схеме выходной поток обслуженных заявок не может снова поступить на какой-либо элемент (обратная связь отсутствует), в замкнутой Q-схеме имеются обратные связи, по которым заявки движутся в направлении, обратном движению «вход-выход».

Собственными параметрами Q-схемы является количество фаз L_ф, количество каналов в каждой фазе , количество накопителей каждой фазы , емкость -го накопителя .

Если , то есть накопитель в приборе П_i отсутствует, то СМО с потерями. Если , то есть накопитель имеет бесконечную емкость и очередь заявок не ограничена, то СМО с ожиданием. Если , то есть емкость накопителя ограничена, то СМО с ограниченным ожиданием.

Для задания Q-схемы необходимо описать алгоритм ее функционирования в различных ситуациях в зависимости от места их возникновения. Статические приоритеты назначаются заранее и независимы от состояний Q-схемы (фиксированы в конкретной задаче). Динамические приоритеты возникают в ходе работы модели. Относительный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель, ожидает окончания обслуживания предшествующей заявки каналом и только после этого занимает канал. Абсолютный приоритет означает, что заявка с более высоким приоритетом, поступившая в накопитель , прерывает обслуживание каналом заявки с более низким приоритетом и сама занимает канал, вытесненная из заявка либо покидает систему, либо записывается на какое-либо место в накопитель .

При рассмотрении алгоритмов функционировании проборов обслуживания П_i (каналов и накопителей ) необходимо задать набор правил, по которым заявки покидают и : для - правила переполнения и ухода для - правила выбора маршрутов и направления ухода, правила блокировки канала, отражающие наличие управляющих связей в Q-схеме, регулирующих поток заявок.

Для оценки вероятностно-временных характеристик можно использовать аналитический аппарат, разработанный в теории массового обслуживания, но большими возможностями обладают имитационные модели на языках моделирования SIMULA, SIMSCRIPT, GPSS.

При исследовании СМО входящий поток требований обычно считают пуассоновским, характеризующимся интенсивностью , это означает, что требования поступают в случайные моменты времени, вероятность появления одного требования в интервале (t;t+t) равна и не зависит от , причем достаточно обосновано для практики, что вероятность появления в этом интервале двух и более требований пренебрежимо мала, длительности обслуживания требований предполагаются случайными с экспоненциальным законом распределения интенсивность обслуживания , то есть вероятность окончания обслуживания очередного требования в интервале (t;t+t) не зависит от и равна .

Уравнение

(*)

характеризует изменение за время общего числа систем , находящихся в состоянии , причем

- количество СМО в состоянии , на которые за время поступают новые требования, переводя их в состояние ;

- количество СМО, заканчивающих обслуживание заявок и переходящих в состояние из ;

- количество СМО, получивших новую заявку и перешедших из состояния в ;

- количество СМО, заканчивающих обслуживание заявок и переходящих в состояние из ;

- количество идентичных СМО;

- количество СМО в состоянии ;

- количество СМО в состоянии ;

- количество СМО в состоянии ;

тогда после деления уравнения (*) на , переходя к пределу при , получим уравнения «гибели и размножения»:

, при i 0; i=0 соответственно,

применяемые для изучения изменения численности популяций в биологии, определения изменения характера обслуживания СМО.

Если СМО находится в стационарном состоянии, так называемом состоянии статического равновесия, тогда , то

решение системы уравнений имеет вид: , где

Системы массового обслуживания могут быть классифицированы по ряду признаков:

1. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания:

• СМО с отказами (потерями);

• СМО с ожиданием.

2. По числу обслуживающих каналов:

• одноканальные

• многоканальные.

3. По месту нахождения источника требований:

• разомкнутые, когда источник требований находится вне системы;

• замкнутые, когда источник находится в самой системе.

4. По количеству заявок в очереди:

• с ограниченной длиной очереди;

• с неограниченной длиной очереди.

Для СМО с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказами является телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

В СМО с ожиданием требование, застав все обслуживающие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

По способу отбора для обслуживания заявок из очереди различают следующие виды дисциплины очереди:

• первый пришел – первый обслуживается (FIFO);

• последний пришел - первый обслуживается (LIFO);

• ограничено время пребывания заявки в очереди;

• с приоритетами, при которых некоторые находящиеся в очереди заявки имеют право первоочередного обслуживания.

Основное содержание теории массового обслуживания составляют методы исследования характеристик СМО, находящихся под воздействием так называемых простейших потоков случайных событий. Одной из характеристик потока случайных событий является его интенсивность, или среднее число событий, происходящих в единицу времени. Для входного потока событий его интенсивность обозначается буквой , а интенсивность обслуживания заявок одним каналом при непрерывной его работе обозначается .

Простейшим называется поток случайных событий, обладающий тремя свойствами:

1.Стационарности, суть которого состоит в том, что вероятностные характеристики потока, в том числе его интенсивность, не зависят от времени.

2. Ординарности, означающее, что вероятность появления одного события за бесконечно малый промежуток времени dt является бесконечно малой величиной более высокого порядка.

3.Отсутствия последействия соответствует тому, что появление в потоке очередного события не зависит от того, когда появлялись в нем предшествующие события.

Одной из важнейших характеристик СМО является длина очереди. Для ее вычисления достаточно знать распределение вероятностей на множестве ее возможных дискретных значений: =L_ож

Для преобразования положим x=/n, тогда

Найдем выражение для вычисления суммы:

при m0

Другой важной характеристикой СМО является время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и, особенно, в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид: F(t) = 1-e ^–μt, означая вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t; μ – параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе, μ = 1/ t_{ср. об .}

Вероятность обслуживания, называемая относительной пропускной способностью СМО, определяется как вероятность противоположного события по отношению к отказу:

Р_обсл = 1-Р_отк , где Р_отк = Р_R = Р_n+m = , где R=n+m

Абсолютная пропускная способность системы А=Р_обсл, указывает среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, n_ср = - среднее число каналов, занятых в системе обслуживанием заявок. Среднее число заявок, находящихся в системе, определим как сумму среднего числа заявок, ожидающих обслуживания, и среднего числа заявок под обслуживанием: L_s = L_ож + n_ср. Важнейшей характеристикой качества обслуживания является время пребывания заявки в системе, которое определяется формулой Литтла: W_s = , тогда W_q = - среднее время пребывания заявки в очереди.

Рассмотрим показатели эффективности работы СМО:

- экономическая эффективность Е=p_обсл с Т – G_n, где

С- средний экономический эффект от обслуживания одного требования;

Т – рассматриваемый интервал времени;

G_n- величина потерь в системе, причем:

- величина потерь для СМО с отказами G_n=(R_к M_з + R_уp_отк + R_пк M_св) Т, где

R_к – стоимость эксплуатации одного прибора обслуживания в единицу времени;

R_у - стоимость убытков в результате ухода требований из системы в единицу времени;

R_пк - стоимость простоя прибора в единицу времени;

M_з - среднее число занятых обслуживанием приборов;

M_св – среднее число свободных приборов;

- величина потерь для СМО с ожиданием G_n=(R_ож M_ож + R_к M_з + R_пк M_св) Т, где R_ож – стоимость потерь, связанных с простоем требований в очереди за единицу времени;

M_ож - среднее число требований, ожидающих начала обслуживания.

Рассмотрим основные модели СМО.

СМО с отказами.

Последовательность модельного описания базируется на представлении о конечном множестве состояний системы (S₀, S_1, S₂, S₃, …, S_k, …, S_n) и исходных данных по некоторым параметрам, таких, как λ, μ, n. На этом основании можно пользоваться моделями и методами теории массового обслуживания для определения других показателей СМО.

Для определения вероятности или времени простоя каналов обслуживания, т.е. когда нет заявок, и система находится в состоянии S₀, следует пользоваться формулой: Р₀ = [ ρ^k / k!]^-1, а для определения вероятности занятости k каналов обслуживания (нахождения k требований в системе) применяют формулу: Р_k = ρ^k p_o / k!.

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что поступившая на обслуживание заявка найдет все каналы занятыми, т.е. система будет находиться в состоянии S_n: Р_отк = Р_n = ρⁿ/n!*Р₀, т.е. k=n.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: Р_отк + Р_обс = 1 или Р_обс = 1-Р_отк.

Вероятность обслуживания или доля обслуженных заявок определяет относительную пропускную способность q: q = P_обс = n_з / ρ. Отсюда можно определить среднее число занятых обслуживанием каналов: n_з = ρ P_обс, или . Абсолютную пропускную способность СМО можно определить по формуле: А = λ*Р_обс.

Пример. В вычислительный центр с тремя ЭВМ поступают заказы на выполнение работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь заказы не принимаются. Среднее время работы с одним заказом 3 часа, интенсивность потока заявок λ=1/4 (1/ч); μ=1/3 (1/ч). Найти Р_отк; М_з.

Решение:

ρ=λ/μ = 0,75.

Р₀ = [1+0,75+(0,75)² / 2! + (0,75)³/ 3!]^-1 = [2,1]^-1.

Р_отк = Р_n= (0,75)³/ 3!*[2,1]^-1 = 0,033.

м_з = i*p_i = p₀ ρⁱ / (i-1)! = 0,72 .

СМО с ожиданием – это СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, становятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов. Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование. В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ. Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

Время обслуживания каждого требования t_об – случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному закону распределения с параметром μ.

СМО с ожиданием можно разбить на две большие группы: замкнутые и разомкнутые. К замкнутым СМО относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен. Например, мастер, задачей которого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на наладку. В подобных системах общее число циркулирующих требований конечно и чаще всего постоянно.

Если питающий источник обладает бесконечным числом требований, то системы называются разомкнутыми. Примерами таких систем могут служить магазины, кассы вокзалов, портов и т.д. Для этих систем поступающий поток требований можно считать неограниченным. При изучении таких систем рассчитывают различные показатели эффективности обслуживающей системы. В качестве основных показателей могут быть: вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты занятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр ρ= λ/μ. Заметим, что если ρ /n < 1, то очередь не может расти безгранично. Это условие имеет следующий смысл: λ – среднее число требований, поступающих за единицу времени, 1/μ – среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда: ρ= λ*1/μ – среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступающие требования. Поэтому условие ρ /n < 1 означает, что число обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования. Важнейшие характеристики работы СМО:

1. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны

2. Вероятность того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находящихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов

при

3. Вероятность того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов

при

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы заняты

при ρ /n < 1

5. Среднее время ожидания требованием начала обслуживания в системе

6. Средняя длина очереди

при ρ /n < 1

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов

8. Коэффициент простоя каналов

8. Среднее число занятых обслуживанием каналов

8. Коэффициент загрузки каналов

8. Среднее количество требований, ожидающих начала обслуживания:

8. Общее количество требований, находящихся в системе

M=m_з+М_ож

Пример. В порту есть два причала для разгрузки грузовых судов. Интенсивность разгрузки 2 суток для 1 судна, поток заявок описывается λ=0,8ед/сут. Очередь ожидающих имеет неограниченную длину. Найти среднее число занятых причалов и среднее время пребывания судна в порту.

Решение: λ = 0,8; μ = 1/Т = ½ = 0,5; ρ = λ/μ = 1,6; n = 2; ρ/n = 1,6/2<1.

Р₀ = [1+1,6/1!+1,6²/2!+1,6³/2!(2-1,6)]^-1 = 0,11

m_з = ρ*q = 1,6*(1-Р_отк) = 1,6, при Р_отк = 0.

М_ож = 2,8.

Т_ож = M_ож / λ = 3,5.

Пример. Пусть в филиале фирмы по ремонту радиоаппаратуры работает n = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт λ = 10 радиоаппаратов. Общее число радиоаппаратов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть все основания полагать, что поток заявок на ремонт аппаратуры является случайным, пуассоновским. В свою очередь каждый аппарат в зависимости от характера неисправности также требует случайного времени на ремонт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мастера и множества других причин. Пусть статистика показала, что время ремонта подчиняется экспоненциальному закону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать μ = 2,5 радиоаппарата. Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту радиоаппаратуры, рассчитав ряд основных характеристик данный СМО.

Решение. За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

1. Определим параметр

ρ = λ*(1/μ) = 10*(1/2,5) = 4,

так как ρ<n, то очередь не может расти безгранично.

2. Вероятность того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры, равна

Р₀ = 1 / 1+4+4²/2!+4³/3!+4⁴/4!+4⁵/5!(1-4/5) = 0,013

3. Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом, равна

Р_n = 4⁵*0,013 / 5!(1-4/5) = 0,554

Это означает, что 55,4% времени мастера полностью загружены работой.

4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата равно

t_{ср об} = (1/μ)*7 = (1/2,5)*7 = 2,8 ч/аппарат

(при условии семичасового рабочего дня)

5. В среднем время ожидания каждым неисправным аппаратом начала ремонта равно t_{ср ож} = 0,554*2,8 /(5-4) = 1,55ч

6. Длина очереди L_{ср оч} = 0,554*4 / 5(1-4/5) = 2,2аппарата

7. Среднее число мастеров, свободных от работы

N_{ср 0} = 0,013 [5-0/1*1+5-1/1!*4+5-2/2!+4²+5-3/3!*4³+5-4/4!*4⁴ ] = 0,95

Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом заняты 4 мастера из 5.

Рассмотрим алгоритм расчета характеристик функционирования замкнутых СМО. Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m – число обслуживаемых объектов). Источник требований находится внутри самой системы, и интенсивность потока требований зависит от состояния системы. Потоком требований чаще всего является поток неисправностей в группе работающих устройств.

За критерий, характеризующий качество функционирования рассматриваемой системы, выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе – коэффициент простоя обслуживаемого объекта. В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятых обслуживающих каналов к их общему числу – коэффициент простоя обслуживаемого канала.

Первый из названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания; второй показывает полноту загрузки обслуживающей системы. Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь, когда число каналов меньше наибольшего числа требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе (n<m).

Приведем последовательность расчетов характеристик замкнутых СМО и необходимые формулы:

1. Определим параметр ρ = λ/μ – показатель загрузки системы, т.е. математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное средней длительности обслуживания (1/μ = t_{ср об}).

2. Вероятность того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов n системы:

3. Вероятность того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов

при

4. Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны, определим, используя очевидное условие:

откуда

Величину P₀ можно получить также путем подстановки в равенство значений Р₁, Р₂, …, Р_m, в которые Р₀ входит сомножителем. Подставляя их, получаем следующее уравнение для определения Р₀:

откуда

5. Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):

или

6.Коэффициент простоя обслуживаемого требования (объекта)

7. Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

или

8. Среднее число свободных обслуживающих каналов

9. Коэффициент простоя обслуживающего канала

Вероятности состояний:

, при i=

, при i=

Для этой модели СМО существуют специальные формулы вычисления показателей работы:

1. Среднее число заявок на обслуживании

2. Среднее число заявок, ожидающих обслуживание

3. Среднее время простоя источника заявок

где вероятность простоя заявок

4. Среднее время простоя канала обслуживания

, где вероятность простоя канала.

5. Среднее время ожидания заявки в очереди t_оч= t_{пр источника}- 1/μ

Пример. Рабочий обслуживает группу из 3 станков. Каждый станок останавливается в среднем 2 раза/ч и процесс наладки занимает в среднем 10мин. Определить абсолютную пропускную способность наладки рабочим станков.

Решение: n-1, m=3, λ=2, μ=6. ρ=1/3.

A=μ*P_з=μ(1-Р₀); Р₀ = 0,346; А = 6(1-0,346) = 4.

СМО с неограниченным ожиданием. Для них характерно отсутствие отказа в обслуживании, т.е. Р_отк=0, а, следовательно, все заявки будут обслужены. Поэтому Р_обс=1, и относительная пропускная способность q=1. При этом абсолютная пропускная способность определяется выражением А = Р_обс*λ = λ.

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S₀, когда нет заявок, т.е. не занят ни один канал Р₀ = [ ρ^k / k! + ρⁿ⁺¹ /(n! (n-ρ))]^-1.

Вероятность занятости обслуживанием к заявок: Р_к = ρ^к / к! * Р₀ . На этом основании вероятность или доля времени занятости обслуживанием всех каналов системы равна Р_n =ρⁿ / n!*Р₀

Если же каналы уже заняты обслуживанием, то вероятность состояния

Р_к=ρ^к /( n!n^k-n )* Р_о, где величина (k-n) определяет длину очереди l_оч, тогда вероятность оказаться в очереди равна вероятности застать все каналы уже занятыми обслуживанием. Среднее число занятых обслуживанием каналов

n_ср = А/μ=ρ

Для СМО с ограниченным временем ожидания

, где n – число каналов обслуживания. [18, 21, 28]