1.5 Сетевые модели

Для решения задач, связанных с формализованным описанием и анализом причинно-следственных связей в сложных системах, где одновременно протекает несколько процессов, используются сети Петри (Petri Nets). Сети Петри применяются для моделирования систем принятия решений, политических систем, макроэкономических событий, транспортных и информационных потоков, логистических систем, изучения химических реакций, военных конфликтов, биологических популяций, процессов функционирования мозга.

Формально сеть Петри (N- схема) задается четверкой множеств , где

- конечное непустое множество символов-позиций,

- конечное непустое множество символов-переходов, множество не пустое,

- входная функция (прямая функция инцидентности)

- выходная функция (обратная функция инцидентности)

Входная функция отображает переход в множество входных позиций , выходная функция отображает переход в множество выходных позиций

Графически N-схемы изображаются в виде двудольного ориентированного мультиграфа, представляющего собой совокупность двух типов узлов: позиций и переходов (изображаются 0 и 1соответственно). N-схема позволяет отразить статику моделируемой системы - взаимосвязь условий и событий, и не позволяет отразить динамику функции моделируемой системы. Для представления динамических свойств объекта вводится функция маркировки (разметки), обозначаемая . Маркировка ( ) – это присвоение неких абстрактных объектов, называемых метками (фишками), позициям N-схемы, причем количество меток, соответствующее каждой позиции, может меняться. Разметка отображается соответствующим числом точек, или числом внутри вершины позиции. Функционирование N-схемы отражается путем перехода от разметки к разметке.

Смена разметок происходит в результате срабатывания одного из переходов сети. Необходимым условием срабатывания перехода является , где - разметки позиции . Переход , для которого выполняется указанное условие, определяется как возбужденный переход или переход, готовый к срабатыванию. Срабатывание перехода изменяет разметку сети на разметку по следующему правилу: , то есть переход удаляет по одной метке из каждой входной позиции и добавляет по одной метке в каждую входную позицию. Для изображения сметы разметки на применяется обозначение , то есть функционирование N-схемы выполняется путем запусков переходов под управлением количества меток и их распределения в сети. Переход запускается удалением меток из его входных позиций и образованием новых меток, помещаемых в выходные позиции. Переход разрешен, если в каждой из входных позиций N-схема имеет число меток, равное по крайне мере числу дуг из позиции в переход.

Динамика сетей Петри обусловлена правилами срабатывания переходов:

- выполняется только возбужденный переход (во всех его входных позициях имеются ненулевые метки);

- срабатывание перехода может наступить через любой конечный промежуток времени после его возбуждения;

- если в некотором состоянии сети возбужденными оказываются сразу несколько переходов, то всегда выполняется только один из них;

- в результате срабатывания перехода метки в каждой входной позиции уменьшаются на единицу, а метки во всех его выходных позициях увеличиваются на единицу;

- выполнение перехода – неделимый акт, изменение разметки входных и выходных позиций перехода при его выполнении (срабатывании) осуществляется мгновенно.[12, 24]

Пример. Представим N-схему в виде графа. ;

- позиции;

- переходы;

от к (от 0 к 1)

от к (от 1 к 0)

Пример. Пусть N-схема имеет первоначальную разметку

при такой начальной разметке N-схемы единственным готовым к срабатыванию является переход , его срабатывание ведет к смене разметки , где

При разметке возможно срабатывание переходов .

В зависимости от того, какой переход сработал первым, получается одна из трех возможных новых маркировок:

1. M₂={1;0;1;0;1;0;1} , где М₁d₁M₂

2. M₃={0;1;0;1;0;0;1} , где М₁d₃M₃

3) M₄={0;1;0;0;1;1;0} , где М₁d₅M₄

Функционирование N-схемы продолжается до тех пор, пока существует хотя бы один возможный переход.

Типовые N-схемы используются при построении иерархических конструкций модели, при моделировании параллельных конкурирующих процессов в различных системах. N-схема может рассматриваться как макропереход или макропозиция модели более высокого уровня, а переход или позиция N-схемы может детализироваться в форме отдельной подсети для углубленного исследования процессов в моделируемой системе S для событий произвольной длительности, так как отражает только порядок поступления событий в исследуемой системе S. Для отражения временных параметров процесса функционирования моделируемой системы на базе N-схем используется расширения аппарата сетей Петри: E-сети, сети Мерлина.[18]

Пример. Станок для обработки заготовок имеет магазин инструментов и оснащен средствами автоматической замены и подготовки инструмента к работе. Заготовки в таре поступают в накопитель 4, откуда с помощью ПР (промышленного робота) переносятся в позицию 1 загрузки станка. Освободившаяся при этом тара также с помощью ПР подается в зону выхода детали после обработки. Готовая деталь помещается в тару и с помощью ТМ (трансманипулятора) перемещается в накопитель 7 готовых деталей. Освободившийся после выполнения этой операции ТМ забирает на месте комплектации 5 очередную заготовку в таре и доставляет ее в накопитель. Представим процесс на рис. 4, 5.

Рисунок 4 - Описание процесса функционирования производственного модуля через условия и события.

Рисунок 5 - Описание процесса функционирования производственного модуля в виде сети Петри.

Позиции имеют следующий смысл:

b₁ – заготовка закреплена на станке и готова к обработке;

b₂ – инструмент подготовлен для выполнения операции;

b₃ – выдан запрос об условиях обработки очередной заготовки;

b₄ – ПР свободен;

b₅ – разрешена замена инструмента;

b₆ - тара свободна;

b₇ - ПР свободен;

b₈ – пустая тара установлена на выходе станка;

b₉ – выполняется программа обработки детали;

b₁₀ - деталь обработана;

b₁₁ – ТМ выполняет программу 1: захватывает готовую деталь, помещает ее в тару, движется к накопителю 7, разгружается в накопитель;

b₁₂ – ТМ свободен;

b₁₃ – выдан запрос об очередной заготовке, которую необходимо доставить в зону обработки;

b₁₄ – получены данные о типах заготовки и тары, адреса их хранения;

b₁₅ – очередная заготовка в таре подготовлена и находится на месте комплектации;

b₁₆ – позиция для приема новой заготовки и тары для нее на месте комплектации подготовлена;

b₁₇ – ТМ выполняет программу 2: берет тару с заготовкой в накопителе 5, переносит ее в накопитель 4, разгружается в накопителе 4;

b₁₈ – тара с заготовкой находится в накопителе 4;

b₁₉ – ТМ свободен.

Переходы имеют следующий смысл:

d₁ – ПР выполняет программу 1: берет заготовку из тары в накопителе 4, закрепляет ее на станке;

d₂ – включение программы обработки детали;

d₃ – ПР выполняет программу 2: берет пустую тару из накопителя 4, переносит ее на выход станка в зону 2, фиксирует тару в зоне 2;

d₄ – выполнена программа подготовки инструмента к обработке очередной заготовки;

d₅ – выполнена программа обработки детали;

d₆ – включается программа 1 управления ТМ;

d₇ – выполнена программа 1 управления ТМ;

d₈ – включается программа 2 управления ТМ;

d₉ – выполняется программа по определению данных о типах очередной заготовки и соответствующей тары, адресов их хранения;

d₁₀ – выполняется программа подготовки на месте комплектации очередной заготовки в таре;

d₁₁ – выполнена программа 2 управления ТМ.

Начальное состояние рассматриваемой сети описывается следующим образом: ПР закончил выполнение операции по переносу пустой тары в зону 2 из накопителя 4 и освободился для выполнения следующей операции своего производственного цикла (условие b₄ выполнено); пустая тара под готовую деталь установлена в выпускной зоне станка (условие b₈ выполнено); деталь прошла обработку (условие b₁₀ выполнено); очередная заготовка в таре ожидает на месте комплектации 5 (условие b₁₅ выполнено); поступил сигнал, разрешающий замену инструмента (условие b₅ выполнено); ТМ доставил заготовку в таре с места комплектации в накопитель 4 и освободился для выполнения очередной операции своего производственного цикла (условие b₁₉ выполнено), тогда начальная разметка имеет вид: М₀=(0001100101000010001). Возбужденным оказывается переход d₆, и получаем после его срабатывания разметку М₁=(0001100000100010000). Теперь возбужденным оказывается переход d₇, после его срабатывания получим разметку М₂=(0001100000010010000) и т.д.[24]