1.3 Дискретно-стохастические модели
Дискретно-стохастические модели (Р-схемы) (probabilistic automat) реализуются вероятностными автоматами, являются дискретными потактными преобразователями информации с памятью, функционирование которых в любом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Р-схемы применяются для проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выявления алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем.
Определение.
Пусть
,где
- множество входов, а
- множество состояний,
,
где
- множество выходов. Пусть
существует закон распределения,
указывающий вероятности
переходов из
в
|
|
|
….. |
|
|
|
|
….. |
|
или
Y Z |
|
|
….. |
|
|
|
|
….. |
|
|
|
|
….. |
|
….. |
….. |
….. |
….. |
….. |
|
|
|
….. |
|
где
;
- вероятность перехода автомата в
состояние
и появление на выходе сигнала
,
если бы он был бы в состоянии
,
и на его вход в этот момент времени
поступил сигнал
.
Число таких распределений, представленных
в виде таблиц, равно
числу
элементов множества
.
Если обозначить В - множество таблиц
распределений, то множество Р={Z,X,Y,B}
- вероятностный автомат.
Таблицы множества
переформируем следующим образом:
Элементы Y |
|
|
….. |
|
|
|
|
….. |
|
Элементы Z |
|
|
….. |
|
|
|
|
….. |
|
где
и
- вероятности перехода автомата Р в
состояние
и появления выходного сигнала
соответственно, при условии, что автомат
находится в состоянии
,
и на его вход поступил входной сигнал
,
причем
.
Если
,
то автомат называется вероятностным
автоматом Мили
(существует независимость распределений
для нового состояния автомата и его
выходного сигнала)
Если закон распределения выходов имеет вид:
Элементы
|
|
|
…. |
|
|
|
|
…. |
|
то есть определение
выходов зависит лишь от состояния, в
котором находится автомат в данном
такте работы, тогда если
,
то автомат называется вероятностным
автоматом Мура.
Частным случаем Р-автомата являются автоматы, у которых переход в новое состояние детерминирован (Z-детерминированный автомат) или выходной сигнал детерминирован (Y-детерминированный автомат). Подобные P-автоматы могут использоваться как генераторы марковских последовательностей, необходимых при построении и реализации процессов функционирования систем или воздействий внешней среды. Для оценки характеристик исследуемых систем могут применяться аналитические модели и имитационные модели.
Y-детерминированный P-автомат может быть задан таблицей переходов
Z |
|
|
….. |
|
|
|
|
….. |
|
|
|
|
….. |
|
….. |
….. |
….. |
….. |
….. |
|
|
|
….. |
|
таблицей выходов
Z |
|
|
….. |
|
Y |
|
|
….. |
|
причем необходимо задать начальное распределение вероятностей нахождение автомата в состоянии :
Z |
|
|
….. |
|
P |
|
|
….. |
|
считая, что до
начала работы (до нулевого такта времени)
P-автомат
всегда находится в состоянии
и в нулевой такт времени меняет состоянии
с этим распределением,
а дальнейшая
смена состояний P-автомата
определяется матрицей переходов
,
иногда для удобства начальная информация
также входит в
:
.
Y-детерминированный P-автомат можно задать определенным графом, вершины которого – состояние автомата, дуги возможные переходы из состояния в состояние вес дуг – вероятности перехода пометки около вершин - значения выходных сигналов, индуцируемых этими состояниями. [18]
Пример. Пусть автомат задан матрицей
Z |
|
|
|
|
|
Y |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Тогда граф P-автомата имеет вид:
