3.3. Рух тіла під дією сили, що залежить від швидкості.

Розглянемо рух тіла, яке падає в повітрі до Землі. На тіло буде діяти сила опору повітря, яка лінійно залежить від швидкості, як наведено на рисунку 3.3. Нехай тіло М рухається з точки О униз. В початковий момент швидкість дорівнює нулю. Вага тіла - G. Сила опору повітря залежить від швидкості падаючого тіла та дорівнює за модулем , де - коефіцієнт пропорційності. Зобразимо тіло М в довільному стані та покажемо сили, діючі на нього.

Рисунок 3.3. Рух тіла під дією сили, що залежить від швидкості.

На тіло, що рухається, будуть діяти: стала сила тяжіння , спрямована по вертикалі донизу та сила опору повітря , спрямована по вертикалі вгору.

Записуємо рівняння руху тіла в векторній формі:

.

Проектуємо векторне рівняння руху тіла на вісь Y :

, .

Поділимо всі члени рівняння на т :

,

де .

Коефіцієнт k дорівнює модулю сили опору повітря, що припадає на одиницю маси тіла, яке рухається, при швидкості рівній одиниці, та має розмірність .

Таким чином, для того, щоб визначити закон руху тіла М необхідно розв'язати диференціальне рівняння другого порядку :

.

Так як

, тоді .

Розділяємо змінні в цьому рівнянні:

, або .

Введемо нову змінну u :

, тоді , .

Замінюючи змінну, отримаємо :

, або .

Інтегруючи останнє рівняння, отримаємо:

, . або .

Визначимо сталу інтегрування с₁, використовуючи початкові умови: при t = 0, :

, .

При знайденому значенні с₁, рівняння має вигляд:

, або .

Потенціюючи цей вираз, визначимо залежність швидкості падіння тіла від часу:

, , .

Проаналізуємо це рівняння: при збільшенні часу падіння тіла до нескінченності, е^-kt прагне до нуля, а швидкість падіння тіла наближається до кінечної величини:

.

Через деякий кінечний проміжок часу рух тіла стає рівномірним. При швидкості тіла сила опору стає рівною силі тяжіння тіла:

, , оскільки , тоді .

Для визначення залежності координати Y від часу, запишемо рівняння залежність швидкості падіння тіла від часу у вигляді:

.

Розв'язавши це диференціальне рівняння, отримаємо необхідний результат.

Розділимо змінні у рівнянні:

,

і проінтегруємо

.

Для визначення сталої с₂, в останнє рівняння підставимо початкові умови: при t = 0, у = 0.

; .

При знайденому значенні с₂ рівняння набуває вигляду:

, .

ЛЕКЦІЯ 4

ОКРЕМІ ВИПАДКИ ІНТЕГРУВАННЯ РІВНЯНЬ РУХУ ТОЧКИ

(продовження)

План.

4.1. Рух тіла під дією сили, що залежить від положення тіла.

4.2. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту без урахування опору повітря.

4.1. Рух тіла під дією сили, що залежить від положення тіла.

Дана задача пов'язана з проблемою визначення другої космічної швидкості і формулюється наступним чином:

Матеріальна точка масою т, кинута вертикально вгору з поверхні землі зі швидкістю , рухається під дією сили тяжіння за законом тяжіння Ньютона.

Визначити залежність швидкості точки від її відстані до центру Землі, нехтуючи опором повітря.

Зобразимо тіло в довільному стані та покажемо діючі на нього сили. На тіло буде діяти одна сила - сила притяжіння до Землі, спрямована по вертикалі донизу, як наведено на рисунку 4.1.

Спрямуємо вісь ОY за прямолінійною траєкторією тіла, вибравши початок координат в центрі Землі.

Тоді сила притяжіння за величиною (за законом Ньютона) дорівнює:

.

Постійний коефіцієнт k можна виразити через інші величини. У випадку, що розглядається, зручніше виразити k з умови, що на поверхні Землі сила притяжіння F дорівнює силі тяжіння Р = тg .

	Прирівнюючи F та Р при Y = R, отримаємо: , , де: g - прискорення сили тяжіння біля поверхні Землі, R - радіус Землі. Підставимо значення k: . Запишемо рівняння руху тіла в векторній формі:
Рисунок 4.1. Рух тіла під дією сили, що залежить від положення тіла.

.

Спроектуємо це рівняння на вісь Y:

; , .

Знак мінус в правій частині рівняння визначається знаком проекції сили на вісь ОY . Проекція цієї сили на вісь є від'ємною для додатніх значень Y, що розглядаються в цьому прикладі. Запишемо початкові умови руху:

при t = 0, , y = y₀ = R.

Оскільки в умові задачі вимагається знайти залежність швидкості точки від відстані, то в рівнянні проведемо заміну незалежної змінної t на у:

; .

Тоді рівняння матиме вигляд:

.

Для рішення рівняння розділимо змінні:

.

Проінтегрувавши це рівняння, знайдемо:

, , або .

Визначимо сталу с використовуючи початкові умови:

при , y = R,

, .

Підставляючи значення с в останнє рівняння, отримаємо:

, ,

.

Остаточно:

.

Використовуючи цей закон швидкості, знаходимо найбільшу висоту, на яку піднімається кинуте тіло.

В той момент, коли тіло досягає найбільшої висоти h, його швидкість буде дорівнювати нулю, тобто:

.

Вирішуючи це рівняння, знаходимо:

, , .

З аналізу цього рівняння витікає: якщо , тоді висота h наближається до нескінченності і тіло, що рухається, не повернеться на Землю. Якщо прийняти , , тоді:

.

Ця швидкість називається другою космічною швидкістю та - найменша швидкість, котру повинен мати космічний корабель для польоту до інших планет.