8.1.1. Вид вимушених коливань за наявністю опору.

З аналізу попереднього рівняння:

,

витікає, що вимушені коливання матеріальної точки при наявності опору середовища, що пропорційний швидкості точки, є гармонічними коливаннями, тому що їх амплітуда , не змінюється з течією часу, тобто вимушені коливання під впливом опору не затухають, тому що вимушуюча сила весь час підтримує коливальний рух точки.

8.1.2. Частота та період вимушених коливань.

Опір не впливає на частоту та період вимушених коливань, тому що частота р та період вимушених коливань точки при наявності опору дорівнюють частоті та періоду зміни вимушуючої сили.

8.1.3. Фаза вимушених коливань.

Фаза вимушених коливань точки при наявності опору відстає від фази вимушуючої сили на величину , що називається зсувом фази.

Як вже зазначалось, кут знаходиться в першій або другій четвертях і його можна визначити за формулою:

.

Поділимо чисельник та знаменник правої частини цієї рівності на

.

З формули видно, що зсув фаз залежить від відношення , що характеризує вимушуючу силу, та від відношення що характеризх е опір середовища.

На рисунку 8.1.3. побудовано графік залежності в градусах кута від відношення при сталих значеннях ; 0,25; 0,05; 0.

	При відсутності опору b = 0 (z = 0) і . В цьому випадку для вимушених коливань малої частоти (p < k). Якщо p = k, то при будь-якому значенні коефіцієнта затухання b , .
Рисунок 8.1.3. Графік залежності в градусах кута від відношення .

8.1.4. Амплітуда вимушених коливань.

Амплітуда вимушених коливань точки при наявності опору визначається за формулою:

.

Амплітуда вимушених коливань змінюється зі зміною величин k, b, p.

Досліджуємо залежність амплітуди вимушених коливань від частоти вимушуючої сили, для чого скористаємося коефіцієнтом динамічності .

Коефіцієнт динамічності дорівнює відношенню амплітуди вимушених коливань під дією вимушуючої сили до статичного відхилення точки від початку координат під дією сталої сили Н:

, де .

Тоді:

.

На рисунку 8.1.4. приведені графіки зміни коефіцієнта динамічності від співвідношення при різних значеннях .

	За умови відсутності опору (b = 0) явище резонансу (р = к) виражається в прагненні амплітуди вимушених коливань до нескінченності. За наявності опору амплітуда, що визначена по формулі: при p = k має кінцеву величину . Знайдемо значення частоти вимушуючої сили р, при якому амплітуда має максимальне значення.
Рисунок 8.1.4. Графіки зміни коефіцієнта динамічності від співвідношення при різних значеннях .

Це відповідає мінімальному значенню підкорінного виразу в знаменнику формули для визначення .

Для цього знайдемо похідну підкорінного виразу по р і прирівняємо її до нуля:

.

Знаходимо корні цього рівняння:

,

, .

Звідси, корні рівняння дорівнюють:

, .

При ,

.

При ,

.

Таким чином,

.

При невеликих значеннях b величина дуже близька до величини k. При b = 0,05 k: .

В цьому випадку .

Таким чином, при малих значеннях b при виникає різке збільшення амплітуди . Зі збільшенням коефіцієнта b величина зменшується. Максимум амплітуди вимушених коливань при наявності опору існує тільки за умови , тобто при .

При максимума не існує, тобто ординати кривих (рис. 4.17) тільки зменшуються при збільшенні .

Оскільки має максимум при , то по мірі збільшення b ці значення р зменшуються, тобто точки максимума на лініях залежності коефіцієнта динамічності від (рис.4.17) зміщуються вліво від прямої .

Таким чином, вплив опору на вимушені коливання матеріальної точки виражається в зсуві фази коливань відносно фази вимушуючої сили та в зміні амплітуди коливань по мірі зростання опору.

Відзначимо основні властивості вимушених коливань з урахуванням сили опору середовища, пропорційній першій степені швидкості:

1. Вимушені коливання - коливання, що не затухають, з частотою вимушуючої сили.

2. Вимушені, коливання не залежать від початкових умов; амплітуда вимушених коливань завжди кінечна.

3. У випадку резонансу амплітуда вимушених коливань стала.

4. На протязі достатнього проміжка часу, тобто при деякому значному t, власними коливаннями матеріальної точки можна знехтувати і вважати

x₁ = 0, x = x₂.