2.3. Методичні вказівки до розв’язання прямої задачі динаміки точки

Задачі на визначення сил, що діють на точку, рекомендується розв'язувати в наступній послідовності:

1. Зобразити на рисунку точку (тіло) в довільному (проміжковому) положенні.

2. Показати активні сили та реакції в'язів, що діють на точку, при цьому необхідно пам'ятати, що сила відображає міру механічної дії на точку (тіло) оточуючих її інших тіл за весь час руху.

3. Вибрати систему відліку, в якій найбільш просто має бути розв'язана задача, при цьому осі координат необхідно спрямовувати таким чином, щоб для вказаного на рисунку довільного положення точки (тіла) її координати були додатними.

4. Визначити за заданим законом руху прискорення точки та знайти його проекції на вибрані вісі координат.

5. Скласти диференціальні рівняння руху точки, що відповідають прийнятій системі координат.

6. Обчислити невідомі величини з отиманих диференціальних рівнянь.

Якщо рівняння руху точки не задані, а відомо її прискорення, то після п.3 рекомендується виконати наступні пункти.

4. Записати рівняння руху точки в формі другого закону динаміки. Спроектувати рівняння руху на вісі вибраної системи координат.

5. Розв'язати отримані рівняння руху в проекціях на вісі координат та визначити невідомі величини.

2.4. Методичні вказівки до вирішення зворотної задачі динаміки

Виішення задач динаміки точки шляхом інтегрування відповідних диференціальних рівнянь руху зводяться до наступних операцій.

1. Укладання диференціальних рівнянь руху.

Для їхнього укладання необхідно:

а) вибрати початок відліку (як правило, суміщаючи його з початковим положенням точки) та провести координатні вісі, спрямовуючи їх у напряму руху; якщо під дією доданих сил точка може знаходитися у будь-якому положенні в рівновазі, то початок відліку зручно поміщати в положенні статичної рівноваги;

б) зобразити точку, яка рухається в довільному положенні, але з позитивними координатами і проекціями швидкості, і показати всі діючі на точку сили;

в) Підрахувати суму проекцій всіх сил на координатні вісі і підставити цю суму у праву частину диференційних рівнянь руху; при цьому треба обов'язково всі змінні сили висловити через тих величини (t, x, y, z, υ), від яких ці сили залежать.

2. Інтегрування диференціальних рівнянь руху.

Інтегрування виробляється засобами, відомими з курсу вищої математики, які залежать від вигляду правої частини отриманих рівнянь.

3. Визначення постійних інтегрування.

Для визначення постійних інтегрування треба за даними задачі встановити початкові умови. При цьому постійні можна визначати після кожного інтегрування.

4.Знаходження невідомих в задачі величин та дослідження отриманих результатів.

Щоб мати можливість досліджувати вирішення, а також виробити перевірку результатів підрахунком вимірностей, треба все рішення проводити до кінця у загальному виді. Числові дані підставляти тільки в остаточні результати.

2.5. Приклад вирішення зворотної задачі динаміки

У залізничних скальних виїмках для захисту кюветів від влучання в них з укосів каміння, влаштовується “полиця” DC. Враховуючи можливість руху каміння з наивищой точки А укосу та вважаючи при цьому його початкову швидкість v₀=0, визначити найменшу ширину полиці b та швидкість Vc, з якої камінь падає на неї. По дільниці АВ укосу, яка складає кут α з горизонтом та має довжину l, камінь рухається τ секунд (рисунок 2.5.).

	При вирішенні задачі вважати коефіціент тертя ковзання f камня на дільниці АВ сталим, а опором повітря зневажити. Дано: va = 0; α = 60°; l = 4 м; τ = 1 с; f ≠ 0; h = 5 м; β = 75°. Визначити b и VC. Вирішення. Розглянемо рух каменя на дільниці AВ. Приймаючи камінь за матеріальну точку, покажемо діючі на нього сили:
Рисунок 2.5. Розрахункова схема

вага , нормальну реакцію та силу тертя ковзання . Складемо диференціальне рівняння руху каменя на дільниці АВ:

Сила тертя F=f N,

де N == G cos α.

Таким чином,

або

Інтегруючи диференціальне рівняння двічі, одержуємо

Для визначення постійних інтегрування скористуємось початковими умовами задачі: при t=0, =0 та =0.

Складемо рівняння, отримані при інтегруванні, для t=0:

Знайдемо постійні: C₁ = 0, С₂ = 0.

Тоді

Для моменту τ, коли камінь покидає дільницю,

тобто

Звідки

V_B = 2l/τ,

тобто

V_B = 2·4/1= 8 м/с.

Розглянемо рух каменя від точки В до точки С.

Показавши силу тяжкості , діючу на камінь, складемо диференціальні рівняння його руху:

Початкові умови задачі: при t = 0

x₀ = 0, y₀ = 0;

Інтегруємо диференціальні рівняння двічі:

Напишемо отримані рівняння для t=0:

x₀ = C₅; Y₀ = С₆ .

Звідси знайдемо, що

Сз = V_в cos α; C₄ = V_B sin α;

C₅ = 0; С₆=0.

Отримаємо наступні рівняння проекцій швидкостей каменя:

та рівняння його руху:

x = V_B cosα t y = gt² /2 + V_B sinα t.

Рівняння траєкторії каменя знайдемо, виключивши параметр t з рівнянь руху. Визначивши t з першого рівняння та підставив його значення в друге, одержуємо рівняння параболи:

у = g x²/(2V_B² cos² α) + х tg α.

У момент падіння y=h, x=d.

Визначаючи d з рівняння траєкторії, знайдемо:

d₁ = 2,11 м, d₂ = -7,75 м.

Так як траєкторією руху каменя є гілка параболы з позитивними абсцисами її точок, тоді d = 2,11 м.

Мінімальна ширина полиці b = d – ED = d - h/tg 75°, або b= 0,77 м.

Використовуючи рівняння руху каменя:

х = v_b cos α ּt,

знайдемо час Т руху каменя від точки В до точки С: Т=0,53 с.

Швидкість каменя при падінні знайдемо через проекції швидкості на вісі координат:

.

За формулою , для моменту падіння t = Т = 0,53 с

або V_C = 12,8 м/с.