1.3.2. Диференціальні рівняння руху точки у натуральній формі

У випадку натуральної форми завдання руху точки її положення на траєкторії визначається залежністю ,

	де S - дугова координата (рисунок 1.3.3.). При цьому: прискорення точки М дорівнює: .
Рисунок 1.3.3. Рух точки заданий у натуральній формі.

Нехай точка під дією прикладених сил і реакцій в'язів рухається за деякою траєкторією АБ .

Спроектуємо рівняння на натуральні вісі координат

; ; ,

де: - відповідно проекції прискорення та рівнодіючої сили на дотичну, головну нормаль та бінормаль до траєкторії в точці М.

Так як

; ; ,

де - радіус кривини траєкторії в точці М, то рівняння руху в проекціях на натуральні осі мають вид:

; ; .

Рівняння називаються рівняннями руху матеріальної точки в натуральній формі.

Лекція 2 Дві основні задачі динаміки точки

План.

2.1.Пряма (перша) задача динаміки.

2.2. Друга задача динаміки

2.2.1. Інтегрування диференціальних рівнянь руху точки

2.3. Методичні вказівки до розв’язання прямої задачі динаміки точки

2.4. Методичні вказівки до вирішення зворотної задачі динаміки

2.5. Приклад вирішення зворотної задачі динаміки

За допомогою диференціальних рівнянь руху точки можна розв'язувати дві основні задачі динаміки: - пряму (першу), обернену (другу, що є основною).

2.1.Пряма (перша) задача динаміки

Знаючи масу точки m та закон її руху, визначити рівнодіючу сил прикладених до точки, що викликають цей рух.

В залежності від того, в якій формі задано закон руху точки, для визначення сил використовуються рівняння руху в векторній. координатній або натуральній формах. При цьому задача зводиться до визначення прискорення точки за відомими кінематичними рівняннями руху.

Якщо рівняння руху задані в декартовій системі координат

; ; ,

то задача розв'язується наступним чином.

Використовуючи закони руху точки визначаємо проекції прискорень на осі координат:

; ; .

Потім знаходимо проекції рівнодіючої сили:

; ; .

Обчислюємо модуль і напрям сили :

;

спрямовуючі косинуси вектора сили дорівнюють:

2.2. Друга задача динаміки

Знаючи сили, що діють на матеріальну тачку, її масу т, а також початкове положення точки та її початкову швидкість, отримати рівняння руху точки.

Ця задача складніше за першу. Якщо перша задача розв'язується шляхом диференціювання, то рішення оберненої задачі зводиться до інтегрування системи диференціальних рівнянь за заданих початкових умов.

2.2.1. Інтегрування диференціальних рівнянь руху точки

Розглянемо рішення другої задачі динаміки в декартовій системі координат. Оскільки в загальному випадку сила може залежати від часу, від координат точки та від швидкості, то диференціальні рівняння руху мають вигляд:

Визначення закону руху в цьому випадку зводиться до інтегрування системи трьох диференціальних рівнянь другого порядку, в яких невідомими функціями с координати x, y, z точки, що рухається; а аргументом – час t.

При інтегруванні кожного рівняння системи (2.13) з'являються дві сталі інтегрування, а для випадку трьох основних диференціальних рівнянь маємо шість сталих С₁, С₂, С₃, С₄, С₅, С₆.

Кожна з координат x, y, z точки, що рухається, після інтегрування системи, залежить від часу t та всіх шести постійних інтегрування:

;

;

.

Якщо сталим інтегрування надати різні числові значення, то можна отримати сукупність різних значень х, у, z.

Таким чином, надані сили не визначають конкретного руху точки, а виділяють цілий клас рухів, що характеризуються шістьма довільними сталими. Для того, щоб отримати рішення конкретної задачі, необхідно задати ще додаткові умови, що характеризують дану задачу. В якості таких умов задають звичайно початкові умови руху.

Вивчення будь-якого руху починаєтся з деякого визначеного моменту часу, що називається початковим моментом часу. Від цього моменту ми будемо відраховувати час руху, вважаючи, що в початковий момент t = 0. Початковий стан точки будемо визначати її радіус-вектором , та швидкістю при t = 0.

В декартових координатах необхідно задавати відповідні проекції при t = 0:

x=x₀ ; y=y₀ ; z=z₀;

_.

Ці відношення називаються початковими умовами руху.

З цих рівнянь визначають сталі інтегрування в залежності від початкових координат точки та проекцій початкової швидкості. Якщо підставити отримані значення сталих інтегрування, то отримаємо частинні рішення рівнянь руху:

,

,

.

У випадку руху точки в площині, наприклад ХОY, маємо два диференціальних рівняння руху. Рішення цих рівнянь містить вже чотири сталих інтегрування, котрі визначаються з початкових умов: при t = 0,

x=x₀ ; y=y₀ ;

Якщо точка виконує прямолінійний рух, наприклад, в напрямку осі Ох , то маємо тільки одне диференціальне рівняння, в рішення якого входять тільки дві сталі інтегрування. Для їх визначення необхідно задати такі початкові умови.

П ри t = 0; x=x₀ ; .

Необхідно зауважити, що введення початкової швидкості точки враховує вплив на її рух тих сил, які діяли на точку до початкового моменту часу.