5.3. Вплив постійної сили на вільні коливання точки.

Нехай на точку крім відновлючої сили діє постійна сила , як наведено на рисунку 5.3.

	У цьому випадку положенням рівноваги крапки буде центр який відстоїть від центра 0 на відстань яка визначається рівністю: чи Величина називається статичним відхиленням точки.
Рисунок 5.3. Вплив постійної сили на вільні коливання точки.

Приймаємо центр за початок звіту і направимо координатну вісь 0Х в сторону дії сили

Тоді:

так як тоді чи:

Звідси робимо висновок, що постійна сила не змінює характер коливань, що робить точка під дією відновлюючої сили, а тільки зміщає центр цих коливань убік дії сили на величину статичного відхилення.

Виразимо період коливань через

так як

тоді

і тобто

тобто період коливань пропорційний квадратному кореню від статичного відхилення

Лекція 6 Теорія коливань.

План.

6.1. Згасаючі коливання точки.

6.1.1. Випадок малого опору.

6.1.2. Граничний випадок.

6.1.3. Випадок великого опору.

6.1. Згасаючі коливання точки.

Теорія вільних гармонічних коливань точки зовсім не враховує сил опору середовища, що виникають при переміщенні точки. Між тим ці сили значно впливають на характер коливального процесу точки, викликаючи швидке його затухання.

Так, наприклад, якщо вантаж, що прикріплено до вільного кінця пружини відтягнути, то він, виконавши деяке число коливань, під впливом сил опору повітря зупиниться.

Це означає, що окрім відновлюючої сили, спрямованої до центру коливань, на точку діє сила опору, що спрямована завжди в сторону, протилежну напряму руху точки. Закон зміни модуля сили опору залежить від фізичної природи цієї сили. Так, наприклад, модуль сили тертя ковзання можна прийняти постійним. Опір повітря в випадках малих швидкостей руху тіл вважають пропорціональним першій степені швидкості, а в випадку великих швидкостей його приймають пропорціональним квадрату швидкості тіла, що рухається.

Розглянемо коливання матеріальної точки М під дією відновлюючої сили та сили опору , що пропорційна швидкості точки, що наведено на рисунку 6. 1.

	Спрямуємо вісь Х вздовж траєкторії точки та сумістимо початок координат О з положенням спокою точки. Модуль відновлюючої сили: .
Рисунок 6. 1. Затухаючі коливання точки.

Проекція сили на вісь х : . Модуль сили опору середовища пропорційний модулю швидкості точки:

.

Якщо , то , тобто коефіцієнт пропорційності за числовим значенням рівний силі опору при швидкості точки, дорівнює одиниці.

Сила опору спрямована завжди протилежно швидкості точки :

.

Проекція сили та швидкості на вісь Х мають протилежні знаки:

.

Складаємо диференціальне рівняння руху матеріальної точки під дією сил та :

; ,

або

.

Вводимо позначення:

, .

.

Це рівняння є диференціальним рівнянням руху матеріальної точки під дією відновлюючої сили та сили опору, пропорційної швидкості точки.

Рішення цього диференціального рівняння знаходимо у вигляді:

.

Тоді:

, .

Підставимо значення , , та в останнє рівняння:

.

Отже, характеристичне рівняння має вигляд:

.

Корені цього рівнняня:

.

Величина є частотою вільних коливань даної точки.

Коефіцієнт характеризує опір середовища. З виразу для коренів характеристичного рівняння видно, що ці корені є дійсними при та комплексними при , випадок називається випадком великого опору, випадок - випадок малого опору.