Лекція 3 окремі випадки інтегрування рівнянь руху точки

План.

3.1. Вільне падіння тіла без урахування опору повітря.

3.2. Рух тіла під дією сили, що залежить від часу.

3.3. Рух тіла під дією сили, що залежить від швидкості.

Інтегрування диференціальних рівнянь руху точки розберемо на конкретних прикладах. При цьому будуть розглянуті наступні випадки зміни сил, що діють на точку:

- сила стала за модулем та напрямком;

- сила залежить від часу;

- сила залежить від швидкості;

- сила залежить від положення точки в просторі.

Необхідно зазначити, що інтегрування рівнянь руху ускладнюються деякими математичними труднощами.

Спочатку розглянемо найпростіший випадок, коли сила, що діє на точку стала за величиною та напрямком.

3.1. Вільне падіння тіла без урахування опору повітря.

Задача формулюється наступним чином: тіло М падає з висоти Н без початкової швидкості на поверхню Землі, як наведено на рисунку 3.1. Сила тяжіння стала та дорівнює , опір повітря не враховувати.

Визначити закон руху тіла.

Поєднаємо початок відліку з початковим положенням тіла М , яке будемо вважати матеріальною точкою. Вісь Y спрямуємо в напрямку руху.

	Зобразимо точку М в довільному положенні та покажемо діючу на неї силу .Запишемо рівняння руху точки в формі другого закону динаміки: . Спроектуємо рівняння на вісь Y :
Рисунок 3.1. Вільне падіння тіла

ma_y = G = mg; a_y = g.

Останнє з рівнянь запишемо в вигляді:

.

Таким чином, робимо висновок, що точка М рухається зі сталим прискоренням.

Для визначення закону руху, тобто отримання залежності y = f(t) двічі інтегруємо по t останнє рівняння:

, , ,

, .

Після першого інтегрування ми отримали залежність швидкості падаючого тіла від часу. Оскільки

, тоді .

Розділяємо змінні:

.

Інтегруючи, отримаємо:

, .

Ми отримали залежність пройденого шляху від часу, в яку входять дві сталі інтегрування с₁ та с₂. Для їх визначення необхідно використати початкові умови:

при t = 0; у₀ = 0, .

Для визначення с₁ підставимо в рівняння , t = 0.

Отримаємо:

0 = g · 0 +c₁, c₁ = 0.

При підстановці в рівняння t = 0, y₀ = 0 отримаємо:

, .

Рівняння, що характеризують вільне падіння тіла при с₁ = 0 та с₂ = 0, набудуть вигляду:

, .

З останього виразу можна визначити час вільного падіння тіла з висоти Н:

, .

3.2. Рух тіла під дією сили, що залежить від часу.

Розглянемо рух тіла М зі стану спокою вздовж гладенької горизонтальної площини під дією сили К, величина якої залежить від часу руху за законом . Вага тіла G.

Розмістимо початок відліку О в початковому положенні тіла. Спрямуємо вісь Х вздовж траєкторії тіла в сторону його руху, як наведено на рисунку З.2.

	На тіло діє сила тяжіння нормальна реакція гладкої поверхні та сили . Записуємо рівняння руху тіла в формі закону Ньютона: . Спроектуємо дане рівняння на вісь Х , вздовж якої рухається тіло:
Рисунок 3.2. Рух тіла під дією сили, що залежить від часу.

, .

Запишемо початкові умови: при t = 0, , x₀ = 0.

В попередньому рівнянні розділимо змінні та про інтегруємо:

, , .

Використовуючи початкові умови: при t = 0, , визначаємо сталу інтегрування c₁:

, с₁ = 0.

Таким чином, залежність швидкості від часу має вигляд:

.

В останьому рівнянні змінюючи на отримаємо:

.

Розділяємо змінні та інтегруємо:

; , .

За початковими умовами: при t=0, х = 0, визначаємо сталу інтегрування c₂:

, с₂ = 0.

Остаточно отримуємо:

.

Шлях, пройдений тілом, зростає пропорціонально кубу часу.