Додаток з Установлення факту відхилення: критерій χ2

Перш ніж з'ясовувати причини та механізми відхилень, у кожному конкретному випадку слід відповісти на питання, чи дійсно має місце таке відхилення від очікуваного за Менделем розподілу ознак. Адже відсутність відповідності між очікуваним та реальним співвідношенням фенотипів може бути викликана просто випадковими відхиленнями. Випадкові відхилення можуть приводити до різниці між теоретично очікуваними розщепленнями та такими, що спостерігаються в досліді. Чим більший розмір вибірки, тим меншими будуть такі відхилення. Якщо експериментальні дані відрізняються від теоретично очікуваних тільки за рахунок випадкових відхилень, то кажуть, що виправдовується нульова гіпотеза. У протилежному разі необхідно запропонувати інше пояснення розщепленням, які спостерігаються, а отже, запропонувати іншу гіпотезу. Для оцінки нульової гіпотези в математичній статистиці користуються χ²-критерієм. Величина χ² кількісно відображає відхилення від очікуваного розподілу з урахуванням розміру вибірки:

χ² = ∑ ( f – f₀)²

f₀

де f – кількість особин з фенотипами певного класу у вибірці, f₀ – очікувана кількість, ∑ - знак суми вказує на підсумовування по всіх фенотипових класах (числом n).

Припустимо, наприклад, що у схрещуванні гороху з жовтим і зеленим насінням (рис. 6.2) у другому поколінні отримано 70 рослин з жовтим насінням і 30 – із зеленим (n = 2). Нульова гіпотеза передбачає співвідношення 3 : 1, тобто очікувана кількість становить відповідно 75 і 25. Застосування наведеної формули дає

χ² = ∑ (70 – 35)² + (30-25) ²

_{75 25 = 1,333.}

Важливою характеристикою є також число ступенів свободи. Серед усіх фенотипових класів імовірність появи одного з них однозначно визначається ймовірностями решти класів, тобто число ступенів свободи m = n – 1. У нашому прикладі кількість фенотипових класів n = 2, а число ступенів свободи m = 1: для певної вибірки кількість особин одного класу автоматично дає кількість особин іншого класу. Число ступенів свободи важливо враховувати, оскільки зі збільшенням цієї величини росте й імовірність випадкового відхилення від очікуваних величин. Після визначення числа ступенів свободи необхідно інтерпретувати значення χ2 стосовно ймовірності (1 – р) того, що відхилення від очікуваного розподілу є статистично значущими (не випадковими) - насправді, саме таке завдання найчастіше стоїть перед дослідником. Величина р залежить від значення χ2 і числа ступенів свободи – зазвичай р установлюють, використовуючи спеціальні таблиці або графіки.

Отриману величину р порівнюють з певним рівнем значущості α,який задає прийнятну для даного випадку ймовірність хибного визнання нульової гіпотези невірною: якщо р > α, нульову гіпотезу приймають; якщо р ≤ α, – відкидають, визнаючи відхилення, що спостерігаються, статистично значущими. Зазвичай у біологічних дослідженнях використовують α = 0,05. Тобто, якщо р ≤ 0,05, то з імовірністю ≥ 0,95 (так звана довірча ймовірність 1 – α) відхилення, що спостерігаються, визнаються статистично значущими; для всіх інших значень р береться нульова гіпотеза. Отже, у нашому прикладі нульова гіпотез за виправдовується.

На практиці з метою перевірки нульової гіпотези порівнюють розраховане значення χ2 із таким критичним значенням, що відповідає р = α (табл. 6.2), і приймають нульову гіпотезу, якщо χ2 є меншим за критичний, та відкидають у протилежному випадку.

Значення χ2 при різних ступенях свободи (за П.Ф.Рокицьким)

Ступені свободи n-1	χ2		Ступені свободи n-1	χ2
	р = 0,05	р = 0,01		р = 0,05	р = 0,01
1	3,84	6,63	6	12,59	16,81
2	5,99	9,21	7	14,06	18,47
3	7,81	11,34	8	15,50	20,09
4	9,49	13,27	9	16,91	21,66
5	11,07	15,08	10	18,30	23,20

Критерій Хі-квадрат дає надійні результати, коли обсяг вибірки більший за 50. Треба мати на увазі, що метод χ2 - квадрат не застосовується до значень, виражених у відсотках або відносних одиницях, а також до вибірок з кількістю особин у будь-якому з теоретично розрахованих класів менше ніж 5.

Не дивлячись на це, всі разом узяті об'єкти проявляють визначені, так звані статистичні, закономірності (встановлені при вивченні великого числа об'єктів), і біолог може передбачати наслідки масового явища в цьому. Відносно ж окремого факту або об'єкту сукупності можна говорити лише про вірогідність того, що він матиме місце, характеризуватиметься тими або іншими властивостями.

Всі явища в природі можна поділити на випадкові і закономірні. При закономірних явищах за явищем А слідуватиме явище В. При випадкових у відповідь на явище А може відбутися не тільки В, а і С, D тощо.

Саме тому в потомстві гібридів фактична кількість, одержувана в досліді, не завжди відповідає очікуваній. При малій кількості нащадків фактичні числа можуть дуже відхилятися від очікуваних. Але, як витікає з теорії вірогідності: чим більший фактичний матеріал, тим він більше наближається до очікуваного відношення.