§ 9. Однорідні системи лінійних рівнянь

Розглянемо систему рівнянь:

а ₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n = 0

а₂₁х₁+а₂₂х₂+...+а_2nх_n = 0 (1)

.........................................

а_m1х₁+a_m2х₂+...+а_mnх_n = 0

Чи має вона розв’язки? Коли?

Цю систему назвемо однорідною. Вона завжди сумісна, так як г(А) = г(А'), і вона має три­віальний розв'язок х₁ = х₂ = ... = х_n = 0.

Теорема 1. Для того, щоб система (1) мала не нульовий розв'язок необхідно і достатньо щоб ранг г її матриці був менший за "n".

Доведення: Дійсно, якщо г = n, то система має один розв'язок, тривіальний, якщо г<п. то (1) являється невизначеною системою, тобто має безліч розв'язків, в тому числі і безліч не нульових розв'язків.

Теорема 2. Для того, щоб однорідна система "n" лінійних рівнянь з "n" невідомими мала не нульовий розв'язок необхідно і достатньо, щоб її визначник D = 0.

Доведення: Умова D = 0 являється необхідною, так як, якщо D = 0, то система має єдиний нульовий розв'язок. Ця умова являється і достатньою, якщо D = 0, то ранг г<n і система має нескінченну множину не нульових розв'язків.

Приклад:

2х₁ + х₂ + х₃ = 0 r (A)=3 _Т = 3

5х₁ - 2х₂ +2х₃ = 0 х₁=0=х₂=х₃

х₁ + 2х₂ + х₃ = 0 D=-270.

3х₁ +4х₂ +2х₃ = 0 r (A)=2 1 -1 4

2: х₁ - х₂ + 4х₃ = 0 n = 3 0 7 -10

5х₁+2х₂+10х₃ = 0 г < n 0 0 0

3х₁ +4х₂ = -2х₃ х₁ - х₂ +4х₃ = 0 х₁ -х₂ = -4х₃ або 7х₂ -10х₃= 0

х₂=10/7х₃

х₁ =10/7х₃ -4х_3.

Розділ 2 Вектори.

§1. Поняття вектора. Види векторів.

Означення 1. Група величин, частинні значення яких визначаються одним дійсним числом називаються скалярними (довжина, маса).

Означення 2. Величини, що характеризуються крім числового значення ще і напрямком, складають векторні величини (сила, швидкість ). Означення 3. Вектором називається напрямлений відрізок.

Довжину відрізка АВ називають довжиною, або модулем вектор .

Якщо початок та кінець вектора співпадають, то такий вектор називається нуль-вектором, його довжина дорівнює нулю, а напрям вважається довільним.

Означення 4. Вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або на паралельних прямих || ||

Означення 5. Колінеарні вектори, які мають один і той же напрямок називаються спів напрямленими ( || ) у зворотному випадку протилежно напрямленим ( || ).

Означення 6. Вектори i називаються рівними ( = ), якщо один із них можна отримати із іншого паралельним перенесенням, тобто || .

Означення 7. Вектори називаються компланарними, якщо вони розташовані в одній пло­щині, або в паралельних площинах.