§ 9. Правила діференціювання функцій

Теорема 1 Якщо ф – ції u = u (x) та v = v (x), диференційовані в даній

точці х

То в цій же точці диференційована і їх сума, до того ж :

(u + v)' = u' + v'

Доведення Розглянемо ф – цію y = f (x) = u (x) + v (x), приросту Δх

відповідає приріст

Δy = f (x + Δx) – f (x) = u (x + Δx) + v (x + Δx) – u (x) – v (x)

= ( u (x + Δx) – u (x)) + ( v (x +Δx) – v (x)) = Δu = Δv

Тоді y' = u' + v'

Зауваження: аналогічно (u – v)' = u' - v'

Теорема 2 Якщо ф – ції u = u (x) та v = v (x), диференційовані на проміжку

(a, b), то

(u _*v)' = u' v + uv'

Доведення Якщо x – отримує приріст Δx, то ф – ції y = u _* v отримують

Відповідно Δy, Δu, Δv, причому

Δy = (u+Δu) _* (v+Δv) – uv = Δuv + uΔv +ΔuΔv, тоді

Наслідок (c_*u)'= c_*u'

Теорема 3 Якщо в даній точці x ф – ції u = u (x) та v = v (x) диф – ні

та v (x) ≠ 0, то в цій точці диф – на і частка

Доведення Нехай Δx – приріст, а Δu та Δv – відповідний приріст

ф – цій тоді y = u/v отримає приріст

тоді

0

Похідна складної ф – ції

Теорема 4 Нехай y = q (x), x є (a, b) має похідну в т. x₀ є (a, b), а

z = φ (y) має похідну в т. y₀ = q (x₀). Тоді z (х) = φ (q (x))

має похідну в т. x₀ до того ж

z' (x₀) = φ' (y₀) _* q (x₀)

Доведення z = φ (q (x)) має похідну =>

Похідна оберненої, неявної ф – ції та ф – ції заданої параметрично

Теорема 5 Якщо для ф – ції y = f (x) існує обернена ф – ція x = φ (y), яка

в розглядуваній точці у' має похідну φ' (у), відмінну від нуля,

то в відповідній т. x ф – ція у = f (х) має похідну f ' (x) рівну

тобто f ' (x) =

Доведення Візьмемо приріст Δy тоді Δx = φ (у + Δу) – φ (у) так як

f (х) монотонна то,

Δx ≠ 0 → так як φ (у) неперервна,

то Δx → 0 при Δy→ 0. Тоді ч. т. д.

Нехай ф – ція задана параметричними рівняннями х = х (t) – існують

y = у (t)

в околі т. t, при чому х' (t) ≠ 0, тоді

, тобто y' (х) =

Нехай ф – ція задана рівнянням F (х, у) = 0, а не у = f (х), тобто неявно. Для того, щоб знайти похідну треба про диференціювати обидві частини цього рівняння по х і з отриманого р – ня знайти у ' (х).

Приклад х² – ln y – x² e^y = 0 (x ^tgx)

Таблиця похідних

Для U = U (x) виконується:

c'=0

x' = 1

(u ⁿ)' = u' nu^n-1

(а^u) = a^u u' ln a

(e^u)' = e^u u'

(sin u)' = u' cos u

(cos u)' = u' sin u

(tg u) ' =

(ctg u) ' =

(arcsin u) ' =

(arcos u) ' =

(arctg u) ' =

(sh u)' = u' ch u

(ch u)' = u' sh u

(ln u) ' =

(log_a u) ' =