§7. Невироджені системи лінійних рівнянь

О значення 1. а₁₁ x₁+a₁₂ х₂+ ... +а_1n x _n = b₁

Система (1)

a_n1 x₁+a_n2 х₂+ ... +a_nn x_n = b_n

називається невиродженою, якщо визначник матриці

a₁₁....а_1n

А= ............. відмінний від нуля.

а₁₁....а_nn

Означення 2. Матриця А складена з коефіцієнтів при невідомих

називається матрицею системи.

Означення 3. Матриця складена з елементів матриці системи та стовпчика вільних коефіцієнтів системи називається розширеною.

a₁₁... а_1n b₁

А = ............ .....

а_n1...а_nn b_n

Систему (1) записати в матричному вигляді А • Х = В, де

x₁ b ₁

X = x₂ B = b₂

x₃ b₃

Методи розв'язку невироджених систем рівняння

1). Метод Крамера

Теорема 1. Якщо визначник системи (1) 0, то ця система має єдиний розв'зок який можна отримати за формулами: Х_і = Х_і / , і = 1,n, де Х_і - визначник отриманий із  заміною і-го стовпчика стовпчиком вільних членів системи.

Д еведення: х₁

Нехай Х = ...

х_n - розв'язок системи (1).

Щоб визначити х₁ домножимо перше рівняння системи на А₁₁, друге - на А₂₁ і т.д., і додамо всі рівняння:

а₁₁ 0_х1 + a₁₂х₂+ ... + a_1n x_n =b₁  A₁₁

a₂₁ x₁ + а₂₂x₂ + ...+ a_2nx_n = b₂ А₂₁

_{.......................................................................................}

a_n1 x₁ + а_n2x₂ + ...+ a_nn x_n = b_nA_n1

(а₁₁А₁₁+а₂₁А₂₁+...+а_n1А_n1)х₁+(а₁₂А₁₁+а₂₂А₂₁+...+а_n2А_n1)х₂+...+(а_1nА₁₁+ +а_2nА₂₁+...+а_nnА_n1)х_n= b₁А₁₁+b₂А₂₁+...+b_nА_n1=_х1

_х1+0  х₂+…+0  х_n = _х1 х₁ = _х1/ 

Аналогічно множимо систему (1) на А_1j, A_2j,…,A_nj, додаючи рівняння системи отри­маємо: х₂   = х₂; х₂ = х₂ / ; ...х_j = x_j / ; j = 1,n.

Приклад: 2х₁+х₂+х₃ = 1

х₂+х₃ =-2

3х₁+х₂+2х₃ = 3  = 3

х₁ = 2; х₂ = -5; х₃ = 4; х₁ = 2/3; х₂ = -5/3; х₃ = 4/3.

Відповідь: (2/3; -5/3; 4/3).

2). Метод Гаусса.

Метод заснованний на елементарних перетвореннях системи лінійних рівнянь:

а). рівняння системи можна домножити на число  0 і додавати до будь-якого іншого рівняння;

б). рівняння системи можна міняти місцями.

Приклад: 2х₁+х₂+х₃ = 1

2х₂+х₃ = -2

3х₁+х₂+2х₃ = 3

2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1

0 2 1 -2  2 0 1 -2  0 -4 -1 -4  0 1 1 2

3 1 2 3 1 3 2 3 0 1 1 2 0 4 1 4

1 0 -3 -3 1 0 -3 -3 1 0 0 -5/3

0 1 1 2  0 1 1 2  0 1 0 2/3

0 0 -3 -4 0 0 1 4/3 0 0 1 4/3

3). Матричний метод.

Теорема 1. Якщо система (1) невироджена, то існує розв'язок системи, який можна знай­ти за формулою Х = А^-1 В.

Д оведення: Запишемо систему (1) в матричному вигляді АХ = В, домножимо зліва на А^-1 А^-1АХ = А^-1В; (А^-1А)Х = А^-1В; ЕХ = А^-1В; Х = А^-1В

Приклад: 3 -1 -1

А^-1 = 1/3 3 1 -2

6 1 4