§4. Визначники матриць третього порядку

Означення 1. Визначником матриці третього порядку

а₁₁ а₁₂ а₁₃

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

н азивається число: а₁₁ а₁₂ а₁₃

 = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁а₂₂а₃₃+а₃₁а₁₂а₂₃+а₂₁а₃₂а₁₃‑

а₃₁ а₃₂ а₃₃ ‑ а₃₁а₂₂а₁₃-а₃₂а₂₃а₁₁-а₂₁а₁₂а₃₃

Тут виражено правило трикутника. Визначник можна розкрити за правилом Саррюса:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂

а₂₁ а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₂ = а₁₁а₁₂а₃₃+а₃₁а₁₂а₂₃+а₂₁а₃₂а₁₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₃₂а₂₃а₁₁-

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₂ - а₂₁а₁₂а₃₃

Приклад: обчислити визначник

1 2 -3

= -1 -3 4 = -2

2 1 -1

Зауваження: Всі властивості 1 - 9, які справедливі для визначників другого порядку справедливі і для визначників третього порядку.

Означення 2. Мінором елемента a_ij матриці А, називається визначник отриманий із мат­риці А шляхом закреслення в матриці А і-го рядка та j-го стовпця. Мінор позначається М_ij.

Мінор першого порядку можна отримати із матриці другого порядку.

а₁₁ а₁₂

А=

а₂₁ а₂₂ М₂₁=а₂₁=а₁₂

Мінор другого порядку можна отримати із матриці третього порядку, наприклад:

а₁₁ а₁₂ а₁₃

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃ М₂₁= а₁₂ а₁₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃

Означення 3. Алгебраїчним доповненням (або ад’юнктом) А_ij елемента а_ij матриці А на­зивається мінор цього елемента, взятий зі знаком (-1)^i+j, тобто А_ij=(-1)^i+j М_ij.

Теарема 1. Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів деякого рядка на алгебраїчні доповнення цих елементів

а₁₁ а₁₂ а₁₃

А = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁А₁₁+а_12­А₁₂+а₁₃А₁₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Доведення:

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃ а₂₁ а₂₂

а₁₁А₁₁+а₁₂А₁₂+а₁₃А₁₃= а₁₁(-1)² + а₁₂(-1)³ + а₁₃(-1)⁴ =

а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃ а₃₁ а₃₂

= а₁₁а₂₂а₃₃-а₁₁а₃₂а₂₃+а₁₂а₂₁а₃₃-а₁₂а₃₁а₂₃+а₁₃а₂₁а₃₂-а₁₃а₃₁а₂₂= А.

Приклад: обчислити

2 1 -3 4 1 -2 1 -2 4

А= -2 4 1 за елементами 1 рядка 2(-1)² + 1(-1)³ - 3(-1)⁴ =29

1 -1 2 -1 2 1 2 1 –1

Перевірити, розкладаючи за елементами другого стовпця.

Теорема 2. (анулювання).

Сума добутків елементів деякого рядка(стовпця) визначника на відповідні алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Доведення :

а₂₂ а₂₃ а₂₁ а₂₃ а₂₁ а₂₂

а₃₁ - а₃₂ + а₃₃ = а₃₁а₂₂а₃₃-а₃₁а₃₂а₂₃-а₃₂а₂₁а₃₃+а₃₂а₃₁а₂₃+

а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₃ а₃₁ а₃₂ +а₃₃а₂₁а₃₂-а₃₃а₃₁а₂₂= 0

Як можна обчислити визначник III порядку?