§ 10. Рівняння дотичної та нормалі до кривої

Розглянемо криву y = f (x). На цій лінії візьмемо т. М₀ (х₀. у₀)

yo

Q )α P ( R

0 xo

Запишемо р – ня дотичної, що проходить через т. М₀ і не║осі ОУ.

Рівняння прямої з даним кутовим коефіцієнтом ″К″ що проходить через т. М₀ (х_0, у₀) має вигляд :

у - у₀ = К (х – х₀); К = f ' (x₀) =>

=> y - y₀ = f ' (x₀) * (х – х₀)

Озн. 1 Нормаллю до кривої в даній точці наз. пряма, що проходить через

цю точку перпендикулярна до дотичної.

Довжина відрізку QM₀ дотичной називається довжиною дотичної. Проекція цього відрізку на вісь ОХ QP називається під дотичною. Довжина М₀R називається довжиною нормалі, а проекція RP – називається під нормаллю.

§ 11. Похідні вищих порядків

Озн. 1 Якщо функція має першу похідну, то похідна від похідної

першого порядку наз. похідною другого порядку, або другою

похідною.

аналогічно

Похідна позначається римськими цифрами : IV, V … або (n – 1), (n) фізичний зміст похідної другого порядку :

- прискорення прямолінійного руху за час t.

Друга похідна ф – ції заданої параметрично :

§ 12. Поняття диференціалу

Якщо ф – ція y = f (х) диференційована на [a. b], то відповідно до властивості границі і нескінченно малої.

f ' (x₀) + α (Δx), де α (Δx) → 0 коли Δx→ 0, тоді Δf (x₀) = f ' (x₀) Δx + α (Δx) Δx

Озн. 1 Якщо функція f (х) має в точці х₀ похідну f ' (x₀), тоді добуток

f ' (x₀) Δх наз. диференціалом ф – ції f (x) в т. x₀ і записують df (x₀) = f ' (x₀) Δx.

T. я. dx = x ' Δx = 1 _*Δx тобто dx ≈ Δx

маємо df (x) = f ' (x) dx

Усі формули похідної працюють для диф – ла, як і властивості.

Геометричний зміст диф – лу

f(x₀+Δx) N

Δу _K

f (x₀) м )α O

Δx

0 x₀ x₀+Δx

МК – дотична

З ΔМКО маєм КО = МО _* tg

Але МО = Δх, tg = f ' (x₀)

т. ч. КО = f ' (x₀) _* Δx = dy

Т. ч. Диф – ал ф – ції y = f (x)

в т. x₀ дорівнює приросту

ординати дотичної.

dy ≠ Δy KO ≠ N, але при малих

Δх, Δу ≈ dy

Застосування диференціалу до наближених обчислень

Δу = f ' (x)Δx => f (x+Δx) – f (x) = f ' (x)Δx

f (x+Δx) = f (x) + f ' (x)Δx

Озн. 2 Абсолютною похибкою Δо наближеної величини x наз. модуль

різниці між її точним значенням "а" та наближеним

Δо =

Озн. 3 Відносною похибкою δ називають : δ =

Диференціали вищих порядків

Озн. 4 Диф – ал від диф – ла першого порядку називають диф – лом

другого порядку

d²y = d (dy) d²y = f '' (x) dx²

Аналогічно знаходимо диф – ал 3 ^го та 4 ^го порядку.

d ⁿ y = d (d ^n-1 y) = f ^{( n)} (x) dx ⁿ

Зауваження Теореми про добуток і частку похідної справедливі і

для диф – лу d (uv) = duv + dvdu

d , але для диф – лу (n > 1) порядку вони

мають зміст тільки коли х незалежна змінна.

(Тобто для складної ф – ції ці формули не виконуються)

d²y = d (dy) = d (φ' (z)dz) = dz d (φ' (z)) + φ' (z) d (dz) = dz φ'' (zdz + φ' (z)) d²z = φ'' (x)dz² = φ' (z)d² z.