§8. Довільні системи лінійних рівнянь

1. Поняття рангу матриці. Розгаянемо прямокутну матрицю

а₁₁ ....а_1n

А = .............

а_m1....а_mn

Означення 1. Рангом матриці А називається найбільший порядок мінора цієї матриці, відмінного від нуля.

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг такої матриці теж рівний нулю.

Означення 2. Будь-який, відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює ран­гу цієї матриці називається базисним мінором матриці.

Ранг матриці позначимо через г(А). Якщо г(А) = г(В), то матриці А і В називаються екві­валентними А  В.

Ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень:

1). Заміна рядків стовпцями і навпаки;

2) Перестановка рядків матриці;

3). Закреслення рядка матриці, всі елементи якого дорівнюють нулю;

4). Множення будь-якого рядка на число відмінне від нуля і додавання його до іншого рядка.

Означення 3. Якщо в матриці будь-який ряд може бути представлений у вигляді суми інших паралельних йому рядків, помножених відповідно на числа ₁, ₂, ..., _n, то кажуть, що данний ряд є лінійною комбінацією вказаних рядів.

Означення 4. L - паралельних рядків матриці називаються лінійно-залежними, якщо хотя б один з них являється лінійною комбінацією решти. В протилежному ви­падку лінійно-незалежні.

Теорема 1. Про базисний мінор

1. Будь-який рядок (стовпчик) матриці являється лінійною комбінацією базис­них рядків.

2. Базисні рядки матриці лінійно-незалежні

П ри обчисленні рангу матриці можна використати елементарні перетворення, метод при­ведення матриці до трапецевидної форми та інші. Приклад: 1). 1 2 -1 3 2 1 2 -1 3 2 1 2 -1 3 3

2 -1 3 0 1 0 -5 5 -6 -3 0 -5 5 -6 -3

А = 2 1 2 3 3  0 -5 5 -6 -3  0 0 4 -2 -1

1 2 3 1 1 0 0 4 2 -1 0 0 0 0 0

r (А) = 3

2). 3 5 7

А = 1 2 3 det А = 0 М₁₃ = 3 5

1 3 5 r (А) = ? 1 2

Т еорема 2. (Кронекера-Капеллі).

Для сумісності системи (1) а₁₁х₁+...+а_1nх_n = b₁

..............................

А_m1х₁+...+а_mnх_n = b_n

необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу її розширеної матриці.

Що значить необхідна і достатня умова?

Доведення: 1) Необхідність

Нехай система (1) сумісна і ₁, ₂,..., _n - один із її розв'язків покажемо, що г(А) = г(А'), де А - матриця системи, А' - розширена матриця. Підставимо ₁, ₂,..., _n в систему (1).

а₁₁₁+а₂₁₂+...+а_1n_n = b₁

......................................... (2).

а_m1₁+a_m2₂+...+а_mn_n = b_n

В иконаємо над матрицею А' елементарні перетворення: до останього стовпця додамо перший стовпчик помножений на (-₁), другий на (-₂) ... n-ий на (-_n), тоді в силу (2) отримаємо:

а₁₁ а_{21 .....} а_1n 0

А’A’’ = ..............................

а_m1 a_m2..... а_mn 0

Ранг не змінегься г(А') = г(А’’ ) таж як можна забрати А=А" г(А) = = г(А')

2). Достатність.

Н ехай матриці А і А' мають однаковий ранг г(А) = r (a’)= г. Покажемо, що система (1) сумісна. Можна припустити, що відмінний від нуля визначник  порядку г знаходиться в лівому верхньому кутку, як матриці А, таж і А', тобто: а₁₁ а₁₂... а_1r

 = a₂₁ a₂₂… a_2r  0

a_r1 a_r2… a_rr

Тоді перші г рядків матриць А та А^’ лінійно незалежні, а кожне із решти ряд­ків може бути представлене як лінійна комбінація перших г рядків. Це озна­чає, що останні m-r рядків системи являються наслідками "г" перших. Тому їх можна відкинули і дана система буде рівносильна системі:

а ₁₁х₁+а₁₂х₂+...+а_1nх_n = b₁

.........................................

а_r1х₁+a_r2х₂+...+а_rnх_n = b_r

Які можливі випадки ?

Можливі два випадки:

1). г = n, тобто число рівнянь системи дорівнюють числу невідомих, причому визначник  цієї системи   0. Система має єдиний розв'язок, який зна­ходиться за формулами Крамера.

2). r n, тобто число рівнянь менше числа невідомих, тоді система має безліч розв’язків.

П риклад:

х₁ - 2х₂ + х₄ = -3 1 -2 0 1 -3

3х₁ - х₂ - 2х₃ = 1 0 5 -2 -3 10

2х₁+х₂-2х₃-х₄ = 4 0 0 0 0 0 r = 2

х₁+3х₂-2х₃-2х₄ = 7 0 0 0 0 0

х₁ - 2х₂ + х₄ = -3 х₁ = -3- х₄ + 2(2+2/5х₃+3/5х₄)

5 х₂-2х₃-3х₄ = 10 х₂ = 10/5 + 2/5х₃ + 3/5х₄

x+y+z = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x+y+2z=1 1 1 2 1  0 0 1 0 0 0 1 0 r (A)=2r (A’)=3

x+y+3z=2 1 1 3 2 0 0 2 1 0 0 0 1 несумісна.