4.Транспонування матриць

Означення 6: Матрицю А^т називають транспонованою по відношенню до матриці А, якщо вона утворена шляхом заміни рядків на стовпчики в матриці А.

Приклад :

1 3 1 9

А= А^т=

9 4 3 4

5. Властивості дій над матрицями

1. 1А=А1=А

2. 0А=А0=0

3. (А)=()А – асоціативність відносно множення чисел.

4. А+В=В+А – комутативність додавання матриць.

5. (А+В)=А+В – дистрибутивність відносно суми матриць.

6. (+)А=А+А

7. А+0=0+А=А

8. (А)В=(АВ)=А(В)

9. (АВ)С = А(ВС)

10. А(В+С) = АВ+АС; (А+В)С =АС+ВС

11. АЕ=ЕА=А

За означенням довести одне з них.

§3. Визначники матриць другого порядку

Визначник - це числова характеристика квадратної матриці.

Означення 1. Визначником (детермінантом) матриці другого порядку

називається чисто  =|А = detA = а₁₁ а₂₂- а₂₁ а₁₂ . Позначають визначник:

а₁₁ а₁₂

А| = detA =

а₂₁ а₂₂

П риклад: 3 6 3 6

А= А= = 12-6=6

1 4 1 4

Властивості визначників матриць другого порядку |А^т| , як це довести ?

Доведення:

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

А| = = а₁₁ а₂₂- а₂₁ а₁₂ А^т= = а₁₁ а₂₂- а₁₂ а₂₁

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂

Наслідок: Будь-яка властивість справедлива для рядків визначника, зберігається і для стовпців.

1. Я кщо елементи будь-якого рядка (стовпця) матриці рівні нулю, то її визначник дорівнює нулеві: 0 а₁₂

= 0

0 а₂₂

3. Якщо елементи одного рядка матриці дорівнюють відповідно елементам другого рядка, то визначник цієї матриці дорівнює нулю.

4. Якщо елементи двох рядків поміняти місцями, то визначник не зміниться за абсолют­ною величиною, а його знак поміняється на протилежний:

а₁₁ а₁₂ а₂₁ а₂₂

а₂₁ а₂₂ а₁₁ а₁₂

4. Якщо елементи деякого рядка матриці помножити на одне і те ж число “k”, то визнач­ник матриці зміниться в “k” разів.

kа₁₁ kа₁₂ а₁₁ а₁₂

k

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂

4. Якщо елементи деякого рядка матриці пропорційні елементам другого рядка цієї ж мат­риці, то її визначник дорівнює нулеві.

а₁₁ а₁₂ а₁₁ а₁₂

k

kа₂₁ kа₁₂ а₁₁ а₁₂

4. Нехай дано два визначники другого порядку у яких відповідно два стовпчики співпа­ли, а два різні:

а₁₁ а₁₂ b₂₁ а₂₂

₁ = ₂ =

а₂₁ а₂₂ b₁₁ а₁₂

Тоді сума цих визначників буде дорівнювати визначнику другого порядку, у якого вказаний стовпчик складається із суми відповідних елементів цих стовпчиків

а₁₁ а₁₂ b₁₁ а₁₂ а₁₁+b₁₁ а₁₂

 = ₁ + ₂ = + =

а₂₁ а₂₂ b₂₁ а₂₂ а₂₁+b₂₁ а₂₂

Довести самостийно:

= а₂₂(а₁₁+b₁₁)-а₁₂(а₂₁₊b₂₁)= a₂₂a₁₁+a₂₂b₁₁-a₁₂a₂₁+a₁₂b₂₁= (a₂₂a₁₁-a₁₂а₂₁)+(a₂₂b₁₁-a₁₂b₂₁)= =₁ + ₂

8. Якщо до елементів деякого рядка матриці додати відповідно елементи другого рядка матриці, помножені на одне і те ж саме число “k”, то визначник матрицы не зміниться.

Як можна це довести?

Доведення:

а₁₁ а₁₂ а₁₁+ka₂₁ а₁₂+ka₂₂ а₁₁ а₁₂ а₂₁ а₂₂ а₁₁ а₁₂

= = +k = = 0 а₂₁ а ₂₂ а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂

9. АВ= А В.