3.Кутові співвідношення

Кут між площинами дорівнює куту між їх нормальними векторами,тоді,

якщо одна площина задана рівнянням

,

а друга і кут між ними

Звідки умова перпендикулярності і - , а умова

і - .

Приклад: Скласти рівняння площини, яка проходить через т.

паралельно площині

, .

§3 Пряма в просторі

1. Загальні рівняння прямої в просторі

Лінію в просторі ми будемо розглядати як множину всіх точок, що належать кожній із двох площин, які перетинаються. Якщо ці поверхні задані рівнянням F(x,y,z) = 0, то Ф(x,y,z) – лінія їх перетину визначається системою рівнянь:

Означення 1: Пряма в просторі являється лінією перетину двох площин, тому аналітично її можна задати системою

(1)

Приклад:

M₁

M₂

2.Векторне рівняння прямої та параметричне рівняння прямої

Положення прямої в просторі визначається, якщо задати будь-яку її фіксовану точку та вектор паралельний цій прямій.

Означення 2: Вектор називається напрямленим вектором прямої , якщо він лежить на ній або паралельний цій прямій.

Нехай пряма L задана точкою M₁ та (m,n,p). Візьмемо на прямій L довільну т. М(x,y,z).

Тоді

а

бо

(2)

;

Означення 3: Рівняння (2) називається векторним рівнянням прямої.

Запишемо рівняння (2) в векторній формі:

(3)

Рівняння (3) – параметричні рівняння прямої.

3.Канонічні рівняння прямої

Нехай лежать на L і S (m,n,p)– її напрямлений вектор. Візмемо на L будь-яку

L точку , тоді M║S їх координати пропорційні

M

(4) канонічні рівняння прямої

Зауваження : Канонічні рівняння можна отримати знаючи координати двох точок і , які лежать на прямій так як за напрямлений вектор можна вважати

Канонічні рівняння прямої (4) можна отримати із параметричних рівняннь (3) виключення параметра t або (5)

Приклад: Скласти каннічне рівняння прямої

.

Знайдемо координати 2-х точок z = 0

x=6 y=

;

Щоб перейти від загального р-ня прямої (1) до іншого вигляду потрібно знайти т.M L та .

Так як пряма та то

П риклад:

.

4.Кутові співвідношення

Знаючи напрямлені вектори можливо знаходити кут між ними, кут між прямою та площиною.

┴ - і

║- і

а) l ┴ α; якщо ║

б) l║α; якщо ┴

в)

5.Відстань від точки до прямої

Розглянемо т. і пряму l .Візьмемо довільну точку прямої l M(x,y,z). Тоді площа паралелограма :

(6)

Приклад : Знайти відстань від т. (1;-1;2) до прямої

Розв’язування : = (0;-1;0) т.к. M(1;4;2) S(2;-1;3) |S| =