Розділ 1. Елементи лінійної алгебри

Матриці. Дії над матрицями.

§1 Поняття матриць. Види матриць.

О значення 1. Матрицею розміру тп називається прямокутна таблиця, що складається з m рядків і n стовпців.

а₁₁ а₁₂ а_1n

А = а₂₁ а₂₂ а_2n

а_m1 а_m2 a_mn

або А=(а_ij), де а_ij- елементи матриці A. i=l,m j=l,n Матриці позначаються- А, В, С. Елементи- а_ij ,в_ij ,с_ij . Замість ( ) зустрічаються [ ], або || ||. Матриці називаються рівними, якщо рівні їх розміри та відповідні елементи:

2 1 2 1

3 5 3 5

Види матриць.

1. Матриця m  1 -називається матриця -стовпчик, а l  п матриця – рядок.

2 . Матриця розміру п  п називається квадратною матрицею, де n - порядок матриці: а₁₁ а₁₂ а_1n

А = а₂₁ а₂₂ а_2n

а_m1 а_m2 a_mn

Елементи а₁₁ а₂₂...a_nn (з лівого верхнього кута в правий нижній) утворюють головну діагональ матриці, а елементи розташовані по діагоналі з нижнього лівого кута до верхнього правого знаходяться на побічній діагоналі.

3. Квадратна матриця, елементи якої, крім тих, що стоять на головній діагоналі нулі називається діагональною:

а₁₁ 0

0 а₂₂

4 . Діагональна матриця виду:

1 0 0

Е = 0 1 0 - називається одиничною.

0 0 1

Коли матриця “0”- ?

5 . Матриця розміру т  п називається нульовою, якщо всі її елементи дорівнюють нулеві: 0 0 0

0 0 0

§2 Дії над матрицями

1. Множення матриці на число

О значення 1: Добутком довільної матриці А на число  називається матриця такого ж розміру, елементи якої дорівнюють добутку числа  на відповідні елементи матриці:

а₁₁ а_{12 ….} а_1n а₁₁ а_{12 ….} а_1n

А  =   А =   =

а_m1 а_{m2 ….} a_mn а_m1 а_{m2 ….} a_mn

П риклад: 2  1 3 2 6

5 7 10 14

2. Алгебраїчна сума матриць

Означення 3: Сумою двох матриць одного і того ж розміру називається матриця такого ж розміру, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць, що додаються.

А=(а_ij)_mn B=(b_ij)_mn A+B= (а_ij +b_ij)_mn

П риклад 1: для матриці 2 –1 0 та 1 1 2 знайти А+В

А= В=

3 1 4 _23 -1 -3 0 _23

Розв’язаня: 3 0 2

А+В=

2 –2 4 _23

Приклад 2: Два заводи випускають вироби M, N, P вищої, першої, другої категорії якості. Кількість виробів випущених кожним заводом за кожною категорією характеризується таблицею:

Категорія якості	Готові вироби, випущені
	І завод			ІІ завод
	M	N	P	M	N	P
Вища	2	12	8	3	2	5
Перша	14	1	16	2	8	6
Друга	0	4	20	5	10	2

Знайти загальний випуск виробів за вказаними категоріями якості ?

Розв’язок: кількість виробів, випущених першим заводом, можна розглядати як елементи матриці А, другим заводомяк елементи матриці В.

Т обто загальну кількість виробів по вказаним категоріям можна розглядати як елементи матриці С, тоді С=А+В.

150 40 320 280 300 450 430 540 770

С= 100 130 175 + 120 150 170 = 220 280 345

25 15 20 30 20 18 55 35 38