9.5. Гиперболалық типтегі теңдеу үшін шектік-айырымдық схема
Гиперболалық теңдеулерге ішек тербелісінің, сығылатын газ қозғалысының, электромагниттік өріс ауытқуы таралуының есептері келтіріледі.
Ішек тербелісінің аралас есебін қарастырайық.
(1)
бастапқы шарттар
(2)
Шекаралық шарттар
(3)
-жеткілікті
тегіс берілген функциялар және
.
Тор
құрамыз
-натурал
сандар.
(4)
(5)
бастапқы
шарт.
шартын
пайдаланып нөмірі
болатын жалған қабаттағы
функциясының мәндерін анықтауға болады.
мұнда
(6)
(6)-теңдіктен
(7)
қабаттағы мәндерін тапқаннан кейін, есептеуді бастай аламыз.
Шекаралық шарттар
, (8)
Мысал. Ішек тербелісі теңдеуінің арлас есебінің шешімін торлар әдісімен құру керек
.
Бастапқы шарттары
.
Шекаралық шарттары
.
Шешімді
h=0,1
қадаммен,
функциясының мәнін төрт ондық таңбамен
дейінгі дәлдікпен анықтап, орындау
керек.
Шешуі. Есепті шешу үшін мына формуланы пайдаланамыз
мұнда i=1, 2, …; j=1, 2, 3, ….
Бұл
жағдайда
ал
табу
үшін, мысалы, мына формуланы пайдаланамыз
және де
(i=0,
1, 2, …, n),
(j=0,
1, 2, 3, 4, 5).
Бұдан
басқа,
Шешуді көрсетілген формулалармен кестеде орындау ыңғайлы.
Кестені толтыру тәртібі:
1.
мәнін
деп
есептеп, бірінші жолға жазамыз
(ол
мәніне
сәйкес).
2.
мәнін
деп
есептеп кестенің бірінші бағанына
жазамыз
(ол
мәніне
сәйкес).
|
0
|
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
1,0 |
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 |
0 0,005 0,02 0,045 0,08 0,125 |
0,198 0,2381 0,2317 0,2218 0,2082 0,1757 |
0,384 0,4247 0,4399 0,3949 0,3175 0,2524 |
0,546 0,5858 0,5879 0,5356 0,4391 0,2810 |
0,672 0,7092 0,6815 0,6321 0,4991 0,3076 |
0,750 0,7677 0,7534 0,6450 0,5006 0,2585 |
0,768 0,7942 0,7312 0,6219 0,4044 0,1586 |
0,714 0,7315 0,6627 0,4906 0,2799 0,6090 |
0,576 0,5825 0,4909 0,3207 0,1552 0,0394 |
0,342 0,3354 0,2405 0,1555 0,0802 -0,0003 |
0 0 0 0 0 0 |
3.
мәнін кестенің соңғы бағанына жазамыз
(ол
мәніне сәйкес).
4.
мәнін мына формуламен есептейміз
мұнда
және
кестенің бірінші жолынан алынады, ал
(i=1,
2, …, 9); h=0,1.
Нәтижені кестенің екінші жолына жазамыз.
5.
мәндерін келесі жолдарда мына формуламен
есептейміз
мұнда
мәндері кестенің алдындағы екі жолынан
алынады.