5. Сызықтық емес теңдеулер жүйесін жуықтап шешу

Көптеген іс жүзінде кездесетін есептерді шығару барысында сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешуге тура келеді.

Мейлі, белгісіздерін табу үшін n сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешу керек болсын

(1)

Бұл теңдеулер жүйесінің жалпы жағдайда тіке шешу жолдары жоқ. Тек кейбір жағдайларда ғана шешуге болады. Мысалы, егер екі теңдеулер жүйесі берілсе, кейбір жағдайларда бір белгісізді екіншісі арқылы өонектеп бұл есепті бір белгісізі бар бір сызықты емес теңдеуге келтіруге боладщы. Сызықтық емес теңдеулер жүйесін шешу үшін әдетте итерациялық әдістер қолданылады.

5.1. Сызықты емес теңдеулер жүйесін итерация әдісімен шешу

Екі белгісізі бар екі теңдеулер жүйесі берілсін

(1)

Жүйенің түбірлерін берілген дәлдікпен табу керек.

Жүйенің айырылған түбірлері бар деп болжайық. қисықтарын тұрғызып және олардың қиылысу нүктелерінің координаталарын анықтап, жүйенің шешімдерінің санын және оның жуық мәндерін анықтауға болады.

Итерация әдісін қолдану үшін жүйені мына түрде жазамыз

(2)

- итерациялы функция деп аталады.

Мейлі - түбірлердің алғашқы жуықтауы болсын. Оларды (2)-ші жүйенің оң жағына қойып, І-ші жуықтауды табамыз.

(3)

Осылайша келесі жуықтауларды анықтаймыз. Жалпы шешу алгоритмі мына формуламен анықталады:

(4)

Егер функциялары үздіксіз болса және тізбектері жинақты болса, онда олардың шектері (2) –ші жүйенің шешімін береді, демек ол 1-ші жүйенің де шешімі болады. Итерациялық процестің жинақтылығы туралы теорема.

Теорема. Мейлі жабық аймағында (2)-ші жүйенің тек бір ғана шешімі болсын .

Егер: 1) және функциялары -де анықталған және үздіксіз дифференциялданатын

2) алғашқы және одан кейінгі жуықтаулар -де жатса

3) -де мына теңсіздік орындалса

(5) немесе (5¹)

Онда біртіндеп жуықтау процесі (4) жинақты және оның шегі жүйенің шешіміне ұмтылады, яғни

n-ші жуықтаудың қателігі мына теңсіздікпен бағаланады:

(6)

Мұнда сандарының ең үлкені.

Егер болса және онда итерация әдісінің жинақтылығы жақсы. Егер соңғы екі жуықтаудың үтірден кейінгі үш ондық таңбасы дәл келсе, онда соңғы жуықтаудың қателігі 0,001-ден аспайды.

5.2. Жәй итерация әдісі

(1)-ші теңдеулер жүйесін мынадай түрге келтіреміз:

(2)

Бұл жүйені жай итерация әдісімен шешу алгоритмі Зейдель әдісіне ұқсас.

Мейлі, алдыңғы итерацияда белгісіздердің мәндері белгілі болсын. Онда белгісіздердің келесі итерациядағы мәндері былай анықталады: (3)

Итерациялық процесс белгісіздердің соңғы екі итерациядағы мәндерінің айырымы берілген санынан кіші болғанда тоқтатылады.

Итерация әдісінде белгісіздердің алғашқы жуықтауы шын шешімге жақын болуы керек, әйтпесе итерациялық процесс жинақсыз болуы мүмкін.