8.3. Рунге-Кутта әдісі
Бір адымды әдістердің ішінде кең тарағаны Рунге-Кутта әдісі. Бұл әдістің негізінде әртүрлі дәлдікті айырымдық схемалар тұрғызуға болады. Рунге-Куттаның 4-щі ретті дәлдікті схемасын жазайық.
(12)
мұнда
,
.
Сонымен Рунге-Кутта әдісі бойынша, әрбір қадамда теңдеудің оң жағы төрт қайтара есептеледі.
Эйлер (3) және Эйлердің қайта санау (11) әдістерін бірінші және екінші ретті дәлдікті Рунге-Кутта әдісі деп қарастыруға болады. Рунге-Кутта әдісі үлкен көлемде есептеулер жүргізуді қажет етеді, бірақ ол жоғары дәлдікті болғандықтан есептеулерді үлкен қадаммен жүргізуге мүмкіндік береді. Басқаша айтқанда, бірдей дәлдікті нәтиже алу үшін, Эйлер әдісінде Рунге-Кутта әдісімен салыстырғанда едәуір кіші қадам алу керек.
Дәл шешімі болатын қарапайым мысалда, қарастырылып отырған әдістерге салыстыру жүргізейік.
Мысал 2. Коши есебін шеш
Шешуі. Бұл есептің берілген бастапқы шартты қанағаттандыратын дәл шешімі мынадай болады
Енді есептің сандық шешімін жоғарыда қарастырылған әдістердің көмегімен табайық. Есептеулердің нәтижелері төмендегі кестеде келтірілген. Бұл кестеден Рунге-Кутта әдісінің дәлдігі жоғары екендігі көрініп тұр.Эйлер әдісімен алынған шешімнің талдауы хі өскен сайын қателіктің өсетінін көрсетеді. хі=1 болғанда қателік 18% болады. Демек тораптардың саны үлкен болған жағдайда Эйлер әдісі үлкен қателіктерге алып келеді. Сондықтан, бұндай жағдайларда жоғары дәлдікті әдістерді пайдалану керек.
|
Эйлер әдісі |
Эйлердің қайта санау әдісі |
Рунге-Кутта әдісі |
Дәл шешім |
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 |
1,2000 1,4420 1,7384 2,1041 2,5569 3,1183 3,8139 4,6747 5,7376 7,0472 |
1,2210 1,4923 1,8284 2,2466 2,7680 3,4176 4,2257 5,2288 6,4004 8,0032 |
1,2221 1,4977 1,8432 2,2783 2,8274 3,5201 4,3927 5,4894 6,8643 8,5834 |
1,2221 1,4977 1,8432 2,2783 2,8274 3,5202 4,3928 5,4895 6,8645 8,5836 |
Қадамды h кішірейткенде Эйлер әдісінің локальдық қателігі азаяды, бірақ бұл жағдайда тораптар саны ұлғаяды ол дәлдікті төмендетеді. Сондықтан Эйлер әдісі тораптар саны үлкен емес жағдайда қолданылады. Бір адымды әдістердің ішінде жиі қолданылатыны Рунге-Кутта әдісі.
Дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Коши есебі
(1)
алғашқы шарттарды
…,
(2)
және
теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын
функцияларын табу болып есептеледі.
Жоғарғы
ретті туындысы бар және ізделініп
отырған функцияның жағарғы туындысына
байланысты шешімен теңдеулер жүйесін
(1)-ші түрдегі жүйеге келтіруге болады.
Соңдай ақ, n-ші
ретті дифференциалдық теңдеуді
төмендегі алмастырудың көмегімен
(3)
1-ші түрдегі жүйеге келтіруге болады
…,
(4)
Эйлер әдісін дифференциалдық теңдеулер жүйесіне және жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерге оңай қолдануға болады. Соңғылар алдын-ала бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесіне келтіріледі.
І-ші ретті екі теңдеулер жүйесін қарастырайық
(5)
бастапқы шарт
(6)
ж/е
жуық мәндері мына формуламен есептеледі
(7)
Енді осы теңдеулер жүйесін (3) Рунге-Кутта әдісімен шешейік. Рунге-Куттаның формуласын осы жүйе үшін жазайық
(8)
мұнда
