8.7. Екінші ретті сызықтық емес дифференциалдық теңдеулер үшін шектік айырымдық әдістер

Сызықтық емес дифференциалдық теңдеуді қарастырайық

(1)

Шектік шарттары мынадай

, (2)

кесіндісінде бірдей қашықтықта орналасқан тораптар жүйесін аламыз , қадамы .

(1)-ші теңдеуді және (2)-ші шектік шарттарды жуық теңдеулер жүйесімен алмастырамыз.

, , (3)

Сонда - белгісіздері бар, - сызықтық емес теңдеулер жүйесін аламыз. Белгілеу енгіземі.

(4)

(3)-ші жүйенің шешімін итерация әдісімен мына формуламен табамыз (5)

Мұнда жоғарыдағы r-индексі, жуықтаудың номерін көрсетеді, Әрбір итерация сайын сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге тура келеді.

Бұл жүйенің арнайы түрін қарастырып, оның шешімін айқын түрде жазуға болады ( [2] Березин Жидьков)

(6)

Мұнда - сандары белгілі, ал және мына формуламен есептеледі.

(7)

(8)

(6)-шы формуланың оң жағында тек шамасы ғана итерация санына байланысты.

Сонымен (3)-ші жүйенің шешімін табу қарапайым итерациялық схемаға келеді. Бұл әдістің жинақтылық шарты [2] қарастырылған.

Мысал. Шектік айырымдық әдісті пайдаланып шектік есептің шешімін 0,5·10^-3 дәлдікпен тап.

(9)

Шешуі. n=10 -деп аламыз тораптар саны , h=0,1.

Берілген есеп үшін

Осы мәндерді (6)-(8) формулаларға қойып мынаны аламыз:

(10)

(11)

1. g_ik – коэффициенттерін есептеу. (11)-формуладан i=1-де мынаны аламыз.

Сонда , ,...,

Ары қарай, i=2 болғанда (11)-ші формуладан

Осыдан , , ,..., .

болғанда есептеулер осы сияқты жүргізіледі. Оның нәтижелерін бір кестеге жазайық.

2. Алғашқы жуықтауды алу. Алғашқы жуықтау үшін функциясын аламыз. Бұл теңдеуінің мына шектік шарттарды қанағаттандыратын шешімі. 2 кестеге - ның мәндерін, оған сәйкес мәндерін және мәндерін есептейміз.

Бақылау сұрақтары

46. 1 –ші ретті теңдеулер үшін Коши есебін шешу деген не?

47. n –ші ретті теңдеулер үшін Коши есебін шешу деген не?

48. n –ші ретті дифференциалдық теңдеуді оған эквивалентті n –ші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесімен қалай алмастыруға болады?

49. Дифференциалдық теңдеулерді шешудің қандай үш топ әдістерін білесіз? Мысал келтіріңіз.

50. Эйлер әдісінің формуласын жазыңыз.

51. Эйлер әдісінің модификациясы. Эйлердің қайта санау әдісі.

52. Эйлер әдісінің геометриялық интерпретациясы

53. Рунге-Куттаның қандай схемаларын білесіз?

54. Рунге –Куттаның бірінші ретті схемасын жазыңыз.

55. Рунге –Куттаның екінші ретті схемасын жазыңыз.

56. Рунге –Куттаның үшінші ретті схемасын жазыңыз.

57. Рунге –Куттаның төртінші ретті схемасын жазыңыз.

58. Дифференциалдық теңдеулер жүйесі үшін Рунге –Куттаның төртінші ретті схемасын жазыңыз.

59. n-ші ретті дифференциалдық теңдеулер үшін Рунге –Куттаның төртінші ретті схемасын жазыңыз.

60. Екі нүктелік шекаралық есептің қойылымы.

61. Біртекті шекаралық есеп дегеніміз не?