4.4. Векторлардың және матрицалардың мөлшерлері
Егер
векторлар кеңістігінде
мөлшер
енгізілсе
,
онда
матрицалар кеңістігінде
онымен келісілген мөлшер деп
.
(3.4.1)
мөлшерді айтамыз.
Векторлар кеңістігінде жиі қолданылатын келесі мөлшерлер
а)
;
б)
;
в)
.
(3.4.2)
(3.4.2а)-(3.4.2в)
мөлшерлерімен келісілген
(
өлшемді)
матрицасының
мөлшерлері мынаған тең
а)
;
б)
;
(3.4.3)
в)
.
(3.4.3в)
(3.4.3а)-(3.4.3в) шығарылуын көрсетеміз. Шығару (3.4.3а):
Осы жерден (3.4.1) ескеріп (3.4.3а) аламыз.
Шығару (3.4.3б):
(3.4.1) ескеріп (3.4.3б) аламыз.
Шығару (3.4.3в):
(3.4.1) ескеріп
аламыз.
екенін
көрсетейік,
мұнда
-
матрицасының меншікті мәндері.
Анықтама бойынша
,
мұнда
- симметриялық
матрица.
Айталық
-
симметриялық матрица,
- оның
ортомөлшерленген (ортонормированная)
меншікті векторлар жүйесі,
-
сәйкес
меншікті мәндері болсын.
Кез-келген
векторын
түрінде көрсетуге болады.
болады, сондықтан
.
Осы ара қатыстардан
.
(3.4.4)
екені шығады.
Себебі
- оң
анықталған матрица,
онда
барлық
.
Айталық
(3.4.4)
теңдігінде
болсын.
Сонда
.
Осы
алынған ара қатыстардан (соотношений)
(3.4.3в)
шығады.
Өте
маңызды бір дербес жағдайын қарастырайық.
Егер
- симметриялық
матрица болса ,
онда
,
сондықтан
ол үшін
.
Мөлшерлердің
қасиеттері.
4.5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістері
4.5.1 Жәй итерация әдісі
Белгісіздердің саны көп болған жағдайда дәл шешім беретін Гаусс әдісінің схемасы тым күрделі болады. Бұл жағдайда САТЖ шешу үшін, кейде жуықтап шешу әдістерін қолданған ыңғайлы. Жуықтап шешу әдістерінің бірі- итерация әдісін қарастырайық.
САТЖ берілсін
(3.5.1)
мұнда
,
,
Диагональдық
коэффициенттер
деп болжап, (1) жүйенің бірінші теңдеуінен-
,
екінші теңдеуінен-
,...,
n-ші теңдеуінен-
-ді
табамыз. Нәтижесінде эквивалентті жүйе
аламыз
, (3.5.2)
мұнда
;
егер
егер
.
(3.5.2) жүйені
және
матрицаларын енгізіп, матрицалық түрде жазуға болады
.
(3.5.3)
(3.5.3)
жүйені, жүйелі түрде жуықтау әдісімен
шешейік. Мейлі
болсын, онда
. (3.5.4)
Егер
жуықтау тізбегінің
шегі
болса, онда ол шек жүйенің (3.5.3) шешімі
болады. (3.5.4) теңдікте шекке өтсек
болады,
яғни шектік вектор
(3.5.3) жүйенің шешімі болады.
Жуықтау формулаларын ашып жазайық
(4´)
Теорема
1. Егер
болса, онда теңдеулер жүйесінің (3.5.3)
бір ғана шешімі болады және итерациялық
процесс (3.5.4) алғашқы жуықтауға тәуелсіз
сол шешімге жинақталады.
Дәлелдеуі:
болғандықтан
.
Осы жерден
.
Сондықтан,
егер
болса, онда тізбек
жинақты болады, яғни
.
Онда итерациялық процесте шекке өтіп
.
мынаны
аламыз
.
Дәлелдейік деп отырғанымыз осы еді.
Салдар.
теңдеулер жүйесі үшін итерациялық әдіс жинақты болады, егер төмендегі теңсіздіктер орындалса
.
(3.5.5)
яғни, егер жүйенің әрбір теңдеуі үшін диагональдық коэффициенттердің модульдері қалған барлық коэффициенттердің модульдерінің қосындысынан үлкен болса (бос мүшелерді есептемегенде).
Шынында да (3.5.3) жүйесі үшін
жинақталу
процесі орындалады,
егер
болса.
Себебі
егер i=j,
онда матрицаның мөлшерінің
анықтамасынан (3.5.5) аламыз.