5.3. Ньютон әдісі
Бұл
әдістің жинақтылығы жәй итерация
әдісіне қарағанда жоғары. Ньютон әдісі,
функцияларын Тейлор қатарына жіктеуге
негізделген, және бұл жіктеулерде екінші
және одан жоғары ретті туындылары бар
мүшелер шығарылып тасталады.
Мейлі,
белгісіздердің алдыңғы итерацияда
алынған жуық мәндері
болсын. Есеп осы мәндерге сәйкес
түзетулерді
табудан тұрады. Осы түзетулердің
көмегімен, жүйенің шешімі былай жазылады.
(4)
өсімшелерін
табу үшін 1-ші жүйенің сол жағын
функцияларын
Тейлор қатарына жіктеп, оның тек сызықтық
мүшелерімен шектелеміз (өсімшелерге
қарағанда), яғни
1-ші
теңдеу жүйесінен
болғандықтан өсімшелерге байланысты
сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз.
(5)
функциялары
мен олардың туындылары
мәндері үшін есептелген (5)-ші жүйенің
анықтауышы якобланы деп аталады.
(6)
Жүйенің
бір ғана шешімі болуы үшін, оның әрбір
итерациядағы якобланы 0-ге тең болмауы
керек. Сонымен, сызықтық емес теңдеулер
жүйесін Ньютон әдісімен шешу дегеніміз,
әрбір итерациядағы белгісіздердің
түзетулерін
табудан тұратын итерация процесі болады.
Есептеу, түзетулердің абсолют мәндерінің
ең үлкені
санынан кіші болғанда, яғни
болғанда, немесе итерация саны жеткілікті
санынанасқанда доғарылады.
Ньютон әдісінің жуықты болуы үшін алғашқы жуық мәндерді дұрыс табудың маңызы зор. Теңдеулер санының өсуіне байланысты жинақтылық нашарлай түседі. Мысал үшін екі теңдеулер жүйесін қарастырайық.
(7)
Бұл (7) жүйе үшін, өсімшелерге байланысты сызықтық жүйе (5) былай жазылады:
(8)
Мейлі
белгісіздердің алғашқы жуық мәні
белгілі болсын жүйенің якобланы 0-ге
тең емес, яғни
(9)
делік.
Олай болса (8) жүйені шешіп,
түзулерін табамыз.
Ал белгісіздердің келесі жуық мәндерін
(10)
өрнектері арқылы анықтауға болады.
1
сызбадағы блок схемада бастапқы мәндер
үшін белгісіздердің алғашқы жуық
мәндері, дәлдік үшін
саны, итерацияның жеткілікті саны үшін
алынған. Егер есептеу дәлдігі орындалса,
онда
шығарылады да, ал орындалмаса
шығарылады.
Мысал ретінде Ньютон әдісінің бір итерациясын қарастырайық.
Мысал:
(11) Жүйенің нақты түбірлерін тап.
Шешуі:
алғашқы жуық мәндерін табу үшін
және
функцияларының графиктерін саламыз.
-ті
есептейміз.
Сонымен
бұл
процесті қайталау арқылы түбірдің
келесі жуық мәндерін табуға болады.
Бақылау сұрақтары
Сызықтық емес теңдеулер жүйесі үшін Ньютонның итерациялық процессінің формуласын жазыңыз.
Көп айнымалы функцияны сызықтық Тейлор қатарына жіктеудің қателігінің жоғары бағасы неге тең?
Ньютон әдісінің жинақтылығы.
Ньютон әдісінің модификациясы.
Ньютон әдісінің жинақтылығының жеткілікті шарты.
Итерация әдісін қолдануға бастапқы жүйені қалай келтіруге болады?
Итерация әдісінің жинақтылық теоремасы.