7. Сандық интегралдау

Егер функциясы кесіндісінде үздіксіз және оның алғашқы бейнесі белгілі болса, онда оның анықталған интегралы Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша есептеледі.

, мұнда

Бірақ көптеген жағдайда функцияның алғашқы бейнесін табу мүмкіндігі бола бермейді немесе алғашқы бейне элементар функциялар арқылы өрнектелмейтін болады. Сонымен қатар, интегралданатын функцияның кестелік мәндері арқылы берілуі де жиі кездеседі. Осылардың бәрі анықталған интегралды сандық әдістермен жуықтап есептеуге алып келеді.

Интегралдарды жуықтап есептеу формулаларын квадратуралық формулалар деп атаймыз.

7.1. Тік төртбұрыштар әдісі

Тік төртбұрыштар әдісі анықталған интегралдың анықтамасына негізделген.

- интегралдық қосынды, кесіндісін бөліктеп, ол кесінділерде нүктелерін алуға сәйкес. интегралын есептеу, қисығымен, абсцисса осімен және түзулерімен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданын есептеуге келеді.

Қисық сызықты трапециясын, тік бұрышымен алмастырамыз, -ны орындалатындай етіп жүргіземіз. кесіндісін бірнеше бөлікке бөлейік. , .

Сонда интегралдың жуық мәні, интегралдық қосындыға тең болады

.

Егер нүктесін - кесіндісінің сол жақ ұшымен сай келетіндей етіп алсақ, сол жақтық тіктөртбұрыштар формуласын аламыз.

, (1)

мұнда - қадам, -қалдық мүше.

Егер нүктесін кесіндісінің оң жақ ұшымен сай келетін етіп алсақ, оң жақтық тіктөртбұрыштар формуласын аламыз

. (2)

Егер нүктесін кесіндісінің ортасымен дәл келетіндей етіп алсақ – онда дәлдігі жоғары орта тіктөртбұрыштар формуласын аламыз.

(3)

Жалпы жағдайда - нің сандық мәнінің қателігі . Ол бөлу қадамына байланысты. Қадамды h кішірейте отырып дәлдікті жоғарылатуға болады. Қалдық мүше .

7.2. Трапециялар әдісі

кесіндісіндегі қисығының доғасын оны керетін хордамен алмастырамыз, трапециясының ауданын есептейміз, сонда (4)

Егер, кесіндісін бірнеше бөлікке бөліп, сол бөліктерге трапеция формуласын қолданатын болсақ

сонда кесіндісінде интегралдың сандық мәні

немесе

(5)

Бұл трапеция әдісінің жалпы формуласы.

Қалдық мүшесі . Интеграл астындағы функция сызықтық функция болғанда, трапеция формуласы интегралдың дәл мәнін береді, себебі .

7.3. Симпсон (параболалар) әдісі

Интегралдау кесіндісін саны жұп болатын, - бірдей бөлікке бөлеміз. Егер функциясын әрбір кесіндіде екінші ретті интерполяциялық көпмүшелікпен алмастырсақ ,

жуықтап интегралдаудың дәлдігі арта түседі. Бұл квадрат үшмүшеліктердің коэффициенттері нүктесінде көпмүшеліктің мәні, -дің кестелік мәніне тең болу шартынан анықталады.

үшін нүктелері арқылы өтетін Лагранждың екінші дәрежелі көпмүшелігімен алмастырамыз

.

Элементар аудан анықталған интегралдың көмегімен былай есептеледі

Әрбір элементар кесінді үшін осындай есептеулер жүргізіп, алынған өрнектердің қосындысын табатын болсақ Симпсон формуласын аламыз.

(6)

Тіктөртбұрыштар, трапециялар әдісін Симпсон әдісімен салыстырып, Симпсон әдісінің дәлдігі жоғары екенін байқаймыз. Тіктөртбұрыштар, трапециялар әдісінің қателіктерінің реті . Симпсон формуласының қалдық мүшесі . Симпсон формуласы үшінші ретті көпмүшелікке дейін дәл, себебі .