9.3. Жазықтықтағы бірқалыпты тор
Екі
аргументтің функциясын
қарастырайық. Анықталу облысы
- тік төртбұрыш болсын.
осінің
кесіндісін және
осінің
кесіндісін
және
бөліктерге бөлеміз.
,
болсын. Бөлу нүктелері арқылы сәйкес
,
остеріне параллель түзулер жүргіземіз.
Осы түзулердің қиылысуынан
тораптарын аламыз.
торын құрайды (Сурет
2).
және
тордың сәйкес
және
бағыттары бойынша қадамдары. Тордың
көршілес
тораптары
деп бір түзуде (көлденең немесе тік)
жататын, ара қашықтығы тордың қадамына
тең (
және
)
тораптарын айтамыз.
9.4. Айырымдық схемалардың жинақтылығы, аппроксимациясы (жуықтау), орнықтылығы.
Берілген бастапқы және шекаралық шартты қанағаттандыратын дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің шешімін табу керек. Берілген дифференциалдық есепті операторлық түрде былай жазуға болады.
,
(1)
Бұл
операторлық теңдеу, берілген дифференциалдық
теңдеуді ғана емес, және қосымша (бастапқы
және шекаралық) шарттарды қамтиды.
-функциясы
теңдеудің оң жағын, бастапқы және
шекаралық шарттарды өрнектейді. G-есептеу
облысы, Г-шекарасы,
- жиыны толық облыс.
функцияның тораптарда анықталған мәні,
торлық функция.
(1)-ші
дифференциалдық есепті айырымдық
есептермен алмастырамыз. Тор тек бір
параметр
-қа
байланысты деп есептейік. Уақыт бойынша
қадам
болсын,
.
Айырымдық есепті операторлық түрде
былай жазамыз.
,
(2)
- айырымдық
оператор,
операторына сәйкес.
Тордың
тораптарындағы
торлық функцияның
мәні,
ізделініп отырған функцияның
мәнін осы тораптарда жуықтап
алмастырады.Алмастыру қателігі
(3)
Енді осы қателіктердің кейбір сипаттамасын енгізейік. Мысалы, олардың тораптардағы мәндерінің модулі бойынша максимумы
Егер тораптарды жиіліткенде, осы қателіктің мәні нольге ұмтылса, яғни
(4)
онда
(2)-ші айырымдық схема жинақты
деп
аталады. Егер
,
мұнда
,
болса, онда схема К-шы ретті дәлдікті
схема болады, немесе оның жинақталу
жылдамдығы
.
Бірнеше тәуелсіз айнымалы шамаға байланысты схеманың дәлдігін оның қадамдарының мәнімен бағалауға болады.
Мысалы.
шарты орындалса, онда h-бойынша
-шы
ретті,
-бойынша
-шы
ретті дәлдікті схема, жинақталу жылдамдығы
.
Шешімнің
тордағы қателігі үшін теңдеу жазайық.
.
Осыдан
.
-тың
осы мәнін айырымдық (2)-ші теңдеуге қойып
мынаны аламыз.
,
,
(5)
-шамасы
айырымдық схеманы аппроксимациялау
қателігі деп аталады.
-үшін
сипаттама енгізейік, Мысалы
(6)
Онда,
егер
болса, онда аппроксимацияның
-бойынша
реті
-ға
тең. Егер
-мәндері
тәуелсіз болса, онда
болса, айырымдық схеманың аппроксимациялау
реті кеңістік бойынша p-ға уақыт бойынша
q- ға тең.
(2) айырымдық схема (1) дифференциалдық есепті аппроксимациялайтын болса, онда тор қадамдарын кішірейткенде аппроксимациялау қателігі нульге ұмтылады, яғни
.
(7)
Егер шешім бастапқы және шекаралық шарттармен үзіліссіз байланыста болса, яғни қосымша шарттардың аз өзгерісіне шешімнің аз өзгерісі сай келсе, онда айырымдық схема орнықты деп аталады.
Теорема. Егер берілген дифференциалдық есептің шешімі бар болса, ал айырымдық схема орнықты және есепті берілген шешімге аппроксимацияласа, онда айырымдық шешім дәл шешімге жинақталады.