6.5. Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы

Кестенің соңында интерполяциялау үшін әдетте Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы қолданылады.

Мейлі, кесіндісінде аргументтің n+1 әр түрлі мәні беріліп, оларға сәйкес функцияның мәндері

ал интерполяциялау қадамы тұрақты h-қа тең, яғни т.е. (i=0, 1, 2, …, n-1) болсын. Интерполяциялау көпмүшелігін мына түрде тұрғызамыз

(1)

Бұл көпмүшеліктің коэффициенттері белгісіз. Оларды

теңдігі орындалатындай етіп таңдап аламыз.

Ол үшін

Δ Δ (i=0, 1, …, n) (2)

болуы қажетті және жеткілікті. (1)-ші теңдікке мәнін қойып коэффициентін табамыз

осыдан

Бірінші шектік айырымның өрнегінен -ді табамыз:

Осы жерден деп болжап және (2)-ші байланысты ескеріп

Δ Δ

екенін аламыз. Демек,

Екінші шектік айырымның өрнегінен -ні табамыз:

Δ

деп болжап

Δ Δ

осы жерден

Математикалық индукция әдісімен

(i=0, 1, 2, …, n)

екенін дәлелдеуге болады. Коэффициенттердің табылған мәндерін (1)-ші формулаға қойып

(3)

аламыз. Бұл Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы.

Есептеулерде Ньютонның формуласын басқа түрде қолданады. делік, сонда

(3)-ші формула мына түрге келеді

Δ Δ Δ

Δ (4)

Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы кесіндісінің бас жағында интерполяциялау үшін қолданылады, яғни алға интерполяциялау және артқа экстрополяциялау. Ньютонның бірінші формуласымен интерполяциялағанда Артқа экстрополяциялағанда, бұл жағдайда

Кестенің соңында интерполяциялағанда, яғни артқа интерполяциялағанда, интерполяциялау қадамы тұрақты болған жағдайда, Ньютонның екінші формуласы қолданылады, мұнда Ньютонның екінші интерполяциялық формуласы алға экстрополяциялағандада қолданылады, онда

Мысал. Төмендегі кестеде ықтималдықтар интегралының мәндері келтірілген:

x	y	Δy	Δ	Δ
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6	0,03983 0,07926 0,11791 0,15542 0,19146 0,22575	3943 3865 3751 3604 3429	-78 -114 -147 -175	-36 -33 -28

y(0,58) мәнін есептеу керек.

Шешімі. Мұнда интерполяциялау қадамы h=0,1. Осы жерден

y(0,58) мәнін есептеу үшін Ньютонның екінші интерполяциялық формуласын қолданамыз:

6.6. Ньютонның интерполяциялық формулаларының қателіктерін бағалау.

Егер интерполяциялау тораптары бірдей қашықтықта орналасқан болса, онда қадамды (i=0, 1, 2, …, n-1) енгізіп және деп, Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласының қателігін бағалау формуласын аламыз

(1)

Мұнда нүктесі интерполяциялау кесіндісінде жатады. Экстрополяциялағанда нүктесі кесіндісінің сыртында жатады.

деп, бірдей қашықтықта орналасқан тораптар үшін Ньютонның екінші формуласының қателігін бағалау формуласын аламыз

(2)

Мұнда .

Практикалық есептеулерде функцияның аналитикалық түрі барлық жағдайларда белгілі бола бермейді. Онда дәлдікті бағалау үшін шектік айырымдардың кестесін құрып, берілген дәлдіктің шегінде тұрақты болатын шектік айырымға тоқтаймыз.

Шекке өтуді пайдаланып

жуықтап табамыз

Сонда Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласының қателігі Δ (1´)

ал Ньютонның екінші интерполяциялық формуласының қателігі Δ (2´)

Мысал. функциясы кестемен берілген:

x	2	3	4
y	0,6931	1,0986	0,3863

Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласын тұрғыз және оның х=2,5 нүктесіндегі интерполяциялау қателігін бағала.

Шешімі. Шектік айырымдардың кестесін тұрғызамыз:

x	y	Δy	Δ
2 3 4	0,6931 1,0986 1,3863	0,4055 0,2877	-0,1178

h=1екенін ескеріп, Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласын пайдаланып

аламыз. функциясының [2, 4] кесіндісіндегі үшінші туындысының ең үлкен мәнін бағалаймыз:

болғандықтан, онда Көбейтіндіні есептейміз

(1)-ші формула бойынша табамыз