6.3. Шектік айырымдар

Интерполяциялау тораптары бірдей қашықтықта орналасқан деп аталады, егер

(i=0,1,..,n-1). (1)

y=f(x) функциясының шектік айырымдары деп мынадай айырымдардың түрін айтады.

- I – ші ретті шектік айырымдар,

-I I – ші ретті шектік айырымдар, (2)

- к–шы ретті шектік айырымдар.

Шектік айырымдардың горизонталдык кестелері.

Шектік айырымдардың кейбір қассиеттері

у - I – ші ретті шектік айырым.

- І І – ші ретті шектік айырым.

- І І І – ші ретті шектік айырым.

n – ші ретті шектік айырымдардың жалпы формуласы

. (3)

1. Қосындының не айырымның шектік айырымы, шектік айырымдардың қосындысына не айырымына тең

2. Функцияны тұрақты көбейткішке көбейткенде, оның шектік айырымы да сол көбейткішке көбейтіледі.

3. n – ші ретті шектік айырымның, m – ші ретті шектік айырымы, (m+n) – ші ретті шектік айырымға тең.

4. n – ші ретті көпмүшеліктің n – ші ретті шекті айырымы тұрақты шама, ал (n +1) – ші ретті шектік айырымы нульге тең.

6.4. Бірдей қашықтықта орналасқан тораптар үшін Ньютонның бірінші интерполяциялық формуласы.

f(x) функциясының мәндері у , у бірдей

қашықтықта орналасқан интерполяциялау тораптарында берілсін х , х ,…, х .

Мына шартты қанағаттандыратын P (x )=y , P (x )=y ,…, P (x )= , n – ші дәрежелі P интерполяциялық көпмүшелігін тұрғызу керек.

f(x) – функциясының n+1 - мәнімен тұрғызылған n - ші дәрежелі көпмүшелік P тек біреу ғана болғандықтан, бұл интерполяциялық көпмүшелік Лагранждың көпмүшелігімен бірдей болуы керек.

Көпмүшелікті мына түрде іздейміз.

a ,a ,…,a - коэффициенттері белгісіз.

a - ді табу үшін х=х мәнін (1) – ші формулаға қоямыз

, ал нүктесінде функцияның мәні берілген , демек а .

а - коэффицентін табу үшін, P (x) көпмүшелігінің х - нүктесіндегі бірінші шектік айырымын құрамыз

Орнына қойып мынаны аламыз.

а

=

P көпмүшелігінің х нүктесіндегі бірінші шектік айырымын есептейтік,

а коэффициентін есептеу үшін екінші шектік айырымды құрайық.

х=x деп Осы жерден а .

Жоғарғы шектік айырымдарды есептеп, х=x деп - коэффициентін есептеудің жалпы формуласын аламыз

а (і=0,1,2,..n), 0!=1 және

Коэффициенттердің табылған мәндерін 1-ші формулаға қойып, Ньютонның 1-ші интерполяциялық формуласын аламыз

. (2)

Жаңа белгісіз енгізіп q=(x-x )/h, мұнда h - интерполяция қадамы, q-қадамдардың саны, Ньютонның формуласын былай жазуға болады.

P . (3)

3–ші формула интерполяциялау кесіндісінің [a,b] бас жағында пайдалануға ыңғайлы.

Егер тораптар саны n=1 болса, онда сызықтық интерполяциялау формуласын аламыз

.

Егер n=2 болса, параболалық немесе квадраттық интерполяциялау формуласын аламыз

.