5.2.2 Технологическая цепочка изучения темы “Первообразная и интеграл”

1) Рассмотрение задач, подводящих к понятию первообразной, которые можно сформулировать как задачи, обратные к подводящим к понятию производной; они приводят к постановке общей математической задачи восстановления функции по её производной, т.е. к задаче, обратной дифференцированию функций.

2) Формулировка определёния первообразной функции с использованием обозначения F’(x)=f(x).

3) Отыскание первообразных функций, использованных в подводящих задачах и некоторых других, по таблице производных, которую нужно использовать для этой цели в обратном порядке. Вывод из этих упражнений о неоднозначности решения поставленной задачи и введение обозначения для множества первообразных данной функции y=f(x): Ф(x)=F(x)+C = , которое называется неопределённым интегралом. Этот термин как раз и связан с неоднозначностью решения поставленной задачи; неопределённость его снимается, если по некоторым дополнительным условиям найти значение произвольной постоянной С. Поэтому действие, обратное дифференцированию функции (отыскание её первообразной) называется интегрированием.

4) Составление таблицы первообразных (неопределённых интегралов) для возможных простых случаев путём обращения таблицы производных.

5) Решение подводящих задач и другие упражнения на отыскание табличных интегралов (первообразных по терминологии школьных учебников).

6) Изучение определённых программой свойств неопределённого интеграла (первообразной), которые служат основой методов интегрирования (нахождения первообразной); для учащихся высокого уровня – с доказательством на основе определения первообразной, для других – с проверкой на примерах.

7) Выделение методов интегрирования в явном виде – непосредственное интегрирование на основе свойств неопределенного интеграла (первообразной), подстановка как обобщение свойства и для учащихся высокого уровня – дополнительно метод интегрирования по частям.

8) Упражнения в интегрировании.

9) Задача о площади криволинейной трапеции, ее решение 2-мя способами.

10) Определение определенного интеграла (интеграла по терминологии школьных учебников), его геометрический смысл.

11) Формула Ньютона-Лейбница.

12) Упражнения в вычислении определенных интегралов.

13) Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур, которые можно составить из криволинейных трапеций по формуле . Полезна таблица (вида табл. 21) и прием решения таких задач (п.5.4.1.).

14) Вычисление с помощью интеграла объемов тел специального вида по формуле и работы по формуле .

15) Понятие о дифференциальном уравнении (которое полезно сравнить с уже известными) и его решении с помощью интеграла.

Технологическая цепочка изучения свойств функций

Общая схема исследования функций выстраивается в школьном курсе постепенно.

7 - 8 классы

1) мотивация введения новой функции (с помощью примеров и текстовых задач, решение которых приводит к рассмотрению функции одного вида);

2) подведение к понятию нового вида функции и введение ее определения в форме у =f (х), определение границ значений параметров вида функции при их значимых частных значениях, приведение других примеров функции;

Таблица 21

3) выяснение ее области определения и области значений;

4) построение графика функции по точкам в общем виде и в частных случаях (при различных значениях параметров); построение графика по характеристическим точкам;

5) в упражнениях решение с помощью графика задач: отыскание значений функции по данному значению аргумента и обратная задача, отыскание промежутков возрастания и убывания, знакопостоянства, нулей функции, свойства непрерывности (интуитивно);

6) графическое решение соответствующего вида уравнений, неравенств с переменной и их систем;

7) вычислительные задачи, связанные с вычислением значений функции;