5.5. Специальные методы и приемы обучения

5.5.1. Изучение функций в школе состоит из основных трех частей: 1) изучение понятия функции и способов ее задания; 2) исследование функций элементарными средствами; 3) изучение начал математического анализа их применение к исследованию функций средствами дифференциального исчисления. Этим трем частям соответствуют традиционные три этапа изучения математического материала в школе (табл. 15).

1) Основные направления функциональной пропедевтики в курсе арифметики начальной школы и 5-6 классов (отмеченные в объяснительной записке к программе) - что создание первых представлений о зависимости величин и способах ее выражения и связи с решением задач и без использования функциональной терминологии: 1) рассмотрение зависимостей между компонентами действий, в частности, при изучении и использовании различных таблиц; 2) составление числовых выражений для отыскания искомых в задачах величин и вычисление их значений; 3) знакомство с примерами некоторых зависимостей, заданных формулой s = vt, прямой и обратной пропорциональности (при решении задач на составление пропорций); 4) знакомство с примерами графиков функций (температуры, равномерного движения) и систематически проводимые построения диаграмм.

Этот фактический материал систематизируется и обобщается в начале курса алгебры 7-го класса на основе определения понятия функции и классификации способов ее задания (формулой, таблицей, графиком). Приемлемое для школы определение функции подчеркивает понятие соответствия и сохраняет понятие переменной величины. Изучение графиков простейших запланированных программой основной школы элементарных функций функции занимает в ней основное место: учащиеся знакомятся со структурой графиков, строят графики по таблицам значений аргумента и функции и решают обратную задачу отыскания этих значений по графику, читают по графикам простейшие свойства функций. Основной метод изучения функций и их графиков – неполная индукция: от примеров к обобщениям (см. п.5.5.2.), а также наглядность (координатная или магнитная доска, таблицы, игровые задания в системе координат).

2) Свойства функций в основной школе устанавливаются по графику, на основе наглядных соображений и соответствующих приемов. Перечень свойств, подлежащих рассмотрению, увеличивается постепенно по мере овладения соответствующим теоретическим материалом; в 9-м классе формулируются и записываются аналитически определения свойств четности и нечетности, монотонности, которые применяются к исследованию функций на конкретных примерах. Таким образом, в курсе алгебры основной школы уровень требований к объему и глубине знаний учащихся о функциях постепенно повышается, они постепенно учатся исследовать свойства функции на трех "языках" – графическом, словесном и символическом.

В 10-м классе повторяются и обобщаются общие сведения о функциях, основным понятиям – числовой функции и способам её задания, даются более точные определения и обозначения. Уточняются определения всех основных свойств функции и приемов их выявления элементарными средствами при сохранении их графической интерпретации. Появляется задача построения графика функции на основе ее исследования, которая решается на достаточно сложных примерах (к этому времени изучается аппарат математического анализа). Другая не менее сложная задача – применение изученных свойств функций при решении различных задач, в частности, уравнений и неравенств данного вида, текстовых задач "на экстремум" и на другие свойства функции.

Отметим некоторые методические особенности изучения конкретных функций, связанные с их свойствами и возможностью использовать вариативный и дополнительный материал для дифференциации обучения. В качестве обшей для изучения всех функций особенности можно отметить использование разных методов исследования функций для учащихся разного уровня обученности. Так, для учащихся низкого уровня можно ограничиваться обоснованием свойств функций с помощью графика и работой с материалом исторического характера; среднего – на основе определения и решение прикладных задач, высокого – средствами математическою анализа и решение конкурсных и олимпиадных задач на свойства функций. В старшей школе возможно исследование изучаемых функций по полной схеме (см. ниже 5.5.2.).

При изучении линейной функции следует уделить внимание рассмотрению ее частных случаев при различных значениях параметров (k > 0, k < 0, b > 0, b < 0, k = 0, b = 0) и их сочетаниях, что хорошо оформить соответствующей таблицей графиков функции. Доказательство того факта, что графиком линейной функции является прямая, позволяет сразу посмотреть на него "с другой стороны" – уравнением прямой линии является линейное уравнение с двумя переменными ах + bу + с = 0, что полезно не только для понимания идеи графического решения линейных уравнений и их систем, но и для установления связей с курсом геометрии.

Аналогично при изучении квадратного трехчлена – таблица графиков функции при а > 0, a < 0, D > 0, D < 0, D = 0; полезны ее варианты для b  0, с > 0 и с < 0; b > 0 и b < 0 при с=0; b = с = 0 и "взгляд с другой стороны" на уравнение параболы как объекта геометрии. Здесь уместно вспомнить гиперболу и ее уравнение, уравнение окружности из курса геометрии и можно дать тем, кто интересуется математикой, понятие о кривых второго порядка, которые будут использоваться при графическом решении систем уравнений и неравенств второй степени. Кроме того, при изучении метода построения графика квадратного трехчлена путем сдвига и деформации основного графика (хорошо это делать с использованием шаблона – лекала параболы), целесообразно сделать обобщение и перенос этого метода на другие, изученные ранее функции и рассмотреть такие примеры. Уместна здесь и постановка вопроса о существовании обратной функции, ее сравнение в этом отношении с линейной.

Понятие о числовой последовательности дается в связи с завершением изучения профессий и их обобщением; в то же время, рассматривая последовательность как функцию натурального аргумента, этот материал можно использовать для углубления и расширения понятия функции. До сих пор при изучении функций (хотя и неявно) подразумевалось непрерывное изменение переменных (их последовательное прохождение через все возможные промежуточные значения). Но если переменная при своем изменении принимает "скачками" ряд отдельных значений, то говорят, что она изменяется прерывисто (дискретно); например, счет отдельных предметов, масса тел, энергия, экономические расчеты, свойства химических элементов в зависимости от их атомного веса (согласно периодическому закону), сумма внутренних углов п - угольника и т.д. Такое изменение переменных описывает числовая последовательность.

Очень интересно проследить, как трансформируются в связи с особенностью этой функции способы ее задания: аналитический – в формулу общего члена последовательности х_т; табличный – в последовательную запись членов последовательности х₁, х₂,.... х_n,...; графический – в изображение членов последовательности точками оси ординат, расположенной в данном случае горизонтально; появляется специальный способ задания последовательности – с помощью рекуррентной формулы (возвратные последовательности), широко используется задание последовательности описанием ее членов. Наряду с возрастающими и убывающими последовательностями (определения тоже специализируются), рассматриваются колеблющиеся, а также конечные и бесконечные, ограниченные и неограниченные, наконец, имеющие или не имеющие предела при n (об этом ниже). Наряду с прогрессиями, здесь имеется богатый материал для дифференцированных заданий – примеры последовательностей из курса геометрии (например, классические последовательности, образующиеся при вписывании или правильных многоугольников в одну и ту же окружность), числа Фибоначчи, текстовые задачи, связанные с процессами роста (подготавливающие понятие показательной функции) и другие.

В соответствии с историей развития математики, сначала знакомство учащихся с тригонометрическими функциями происходит в курсе геометрии как с функциями угла, и они используются для решения треугольников. На этой основе выводятся основные тригонометрические тождества и следствия из них, которые используются для вычислений и тождественных преобразований простейших тригонометрических выражений, дают замечательный вычислительный аппарат для решения разнообразных задач планиметрии и стереометрии. Все это, с одной стороны, составляет хорошую пропедевтику к изучению тригонометрических функций числового аргумента и позволяет использовать для наглядности геометрическую интерпретацию при изучении всех свойств функций и вопросов, связанных с решением тригонометрических уравнений и неравенств; с другой – создает определенные психологические трудности для усвоения, связанные с изучением дополнительной меры угла – радианной, т.к. тригонометрические функции в этом отношении не похожи на остальные элементарные функции числового аргумента.

Отсюда непосредственно следует, что при изучении тригонометрических функций для создания и развития интереса на уроке и во внеклассной работе можно использовать интересную историю развития тригонометрии и ее приложений (см., например, Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983. – 351 с).

Тригонометрические функции отличаются от всех других тем, что они периодические, и учащиеся часто на вопрос "что такое периодические функции?" отвечают "тригонометрические". Чтобы избежать этой ошибки можно еще в основной школе исследовать функции на периодичность по графику и на основе определения (см., например, исследование на периодичность линейной функции в п. 5.1.1.) Задача доказательства этого свойства для основных тригонометрических функций дополняется задачей отыскания периода в конкретных примерах. Решить эту задачу, зная период основной функции, разные учащиеся могут двумя способами: 1) с помощью тождественных преобразований выражения, задающего функцию: например, чтобы найти наименьший период функции , зная, что наименьший период функции y = sin x Т = 2, выполняем следующие тождественные преобразования выражения, задающего данную функцию: ; отсюда следует, что наименьший период данной функции Т₁ = 8; 2) на основе теоремы: "если функция y=f(x) – периодическая с периодом Т, то функция у = A f(kx + b) также периодическая и ее период Т₁ = " находим: Т₁ = .

Интересен и другой математический аппарат изучения тригонометрических функций. Формулы производной тригонометрических функций выводятся не только на основе определения производной и формул тождественных преобразований тригонометрических выражений, но и первого замечательного предела. Программой предусмотрено изучение достаточно интересных приложений тригонометрических функций: кроме классического решения треугольников в геометрических задачах, это – такое же классическое исследование гармонических колебаний, приводящее к дифференциальным уравнениям, реше­нием которых служат тригонометрические функции.

Понятие об обратных тригонометрических функциях и некоторые вычисления с ними рассматриваются программой школьного курса только в связи с решением тригонометрических уравнений и неравенств. На наш взгляд, изучение обратных тригонометрических функций "по полной программе", тождественных преобразований выражений с аркфункциями и решение соответствующих уравнений и неравенств составляет интереснейший материал для углубления теории тригонометрических функции и учения об элементарных функциях в целом. Поэтому полезно рассматривать вопрос о существовании каждой аркфункции при изучении свойств прямой тригонометрической функции, а заданный материал использовать для дифференциации обучения.

Следует отметить также, что изучение тригонометрических функций, на наш взгляд, можно сделать менее растянутым, чем это рекомендуется учебниками, более компактным в соответствии с приведенной ниже общей методико-технологической цепочкой изучения функций в 10-11 классах.

В методике изучения показательной и логарифмической функций следует отметить неудачное, на наш взгляд, предлагаемое учебниками расположение материала, включающего понятие степени a^x с произвольным действительным показателем, их свойства и действия с такими степенями, так же как и понятие логарифма, их свойства и действия с логарифмами непосредственно перед изучением соответствующих функций. Многие учащиеся относят этот материал числовой линии к свойствам функций, что непозволительно. По-видимому, нужно найти для него более подходящее место, которое позволило бы и более тщательно поговорить о логарифмировании как второй обратной операции возведению в степень из-за ее некоммутативности (на наш вопрос "почему показатель степени назвали ещё и логарифмом?" не отвечает ни один старшеклассник); выполнению вычислений и тождественных преобразований выражений со степенями и логарифмами, а также истории возникновения и использования логарифмов.

Эти функции взаимно обратные, что проявляется в определении, способах задания, свойствах и формулах; поэтому свойства логарифмической функции можно обосновывать, опираясь на свойства показательной функции на основе соответствующих теорем. Для этих функций необходимо выделить значимые частные случаи: у = 10^х, у = е^х – экспоненциальная функция и ее график – экспоненту, у = lq х, у = ln x и понятия десятичного и натурального логарифма, а также понятие "экспоненциальный закон". Для показательной функции следует отметить а) использование второго замечательного предела для вывода формулы производной функции; б) приложение – классические задачи показательного роста и убывания, приводящие к дифференциальным уравнениям, решением которых служит показательная функция.

Изучение степенной функции в силу ее большой разветвленности невозможно в каком-то одном месте. На протяжении всего курса алгебры и начал анализа в связи с расширением понятия степени изучаются частные случаи степенной функции у=х, у = х², у = х³, у = х^-1, у = и другие. В 11 классе, наряду с их обобщением до понятия степенной функции с произвольным действительным показателем, необходимо выполнить сравнение, обобщение, классификацию частных случаев по показателям – их принадлежности к числовому множеству, четности и нечетности, что хорошо оформляется наглядно соответствующими обобщающими таблицами с графиками функций.

3) Основной особенностью методики изучения начал математического анализа, создающей дополнительные (к трудности самого материала) трудности его усвоения учащимися, является, на наш взгляд, отсутствие в программе пропедевтического этапа, весь достаточно большой по объему материал изучается в течение двух лет в 10-11-х классах. Восполнить этот пробел и тем самым полностью все необходимые этапы изучения математического материала (см. лк. 1, п.1.4.1. и [1, лк. 10]) реализовать следует усилением внимания к формированию готовности учащихся к его восприятию, рассматривая перед введением основных понятий и теорем "подводящие" задачи, "запас" знаний о конкретных примерах функций и их графиках, наглядную иллюстрацию с целью создания мотивации их изучения и содержательно-интуитивных представлений о вводимых понятиях и их свойствах, следуя при этом логике изложения этих вопросов в классическом математическом анализе. Это можно делать как непосредственно перед изучением основного материала в данном месте программы, так и, если это возможно, в предыдущих классах. После на том или ином уровне (как уже отмечалось, для разных учащихся он может быть разным) введения определения понятия или изучения его свойства – обязательно рассматривать примеры их приложений.

Так, подготовку к восприятию понятия предела функции (точное определение которого даже не предусмотрено программой) можно начать в 9-м классе при изучении темы "Последовательности, прогрессии". Рассматривая примеры последовательностей и их геометрическую иллюстрацию, выделим вопрос об их "поведении" при п. Например, две из них а) и б) х_n = 2ⁿ, геометрическая иллюстрация которых - на рисунке 16.

Точки, соответствующие членам последовательности а), при п "сгущаются" около точки "0", не заходя за нее, членам последовательности б) при п все с большим интервалом удаляются бесконечно далеко. Говорят, что последовательность а) имеет предел при п равный нулю, а последовательность б) при п не имеет предела (наглядно-интуитивное определение). Чтобы перевести определение предела на математический язык, подберем уточняющие синонимы к слову "сгущаются" – "располагаются все ближе к точке 0", "стремятся к точке 0", "расстояние между точками, соответствующими членам последовательности все с большим номером, и точкой 0 становится все меньше". Понятие расстояния и его уменьшение уже можно выразить математически, в данном случае как |0 – x_n|  0. Таким образом, можно сказать, что это расстояние с возрастанием номера члена последовательности может сделаться меньше любого заданного сколь угодно малого положительного числа; отсюда следует известное определение предела последовательности. Его можно лучше понять при выполнении так называемого численного эксперимента – вычисляя значения х_n на микрокалькуляторе или компьютере, заполняя соответствующие таблицы и сравнивая полученные значения; в эти упражнения можно включить "экспериментальный" вывод теорем о пределах последовательностей. Наконец, рассмотреть классические последовательности некоторых геометрических величин, служащие для определения длины окружности, площади круга и т.д.

Затем нужно выделить частный случай предела функции при х. Это можно сделать в начале 10-го класса при повторении и систематизации свойств функций, изученных в основной школе, в частности, функции у = (обратить внимание на свойство графика этой функции при х можно и раньше), и сформулировать определение предела функции при х  по аналогии с определением предела последовательности. Наконец, перед введением понятия производной рассмотреть с помощью графической иллюстрации понятие предела функции в точке (желающим учащимся после такой подготовки будет интересно и точное определение, и соответствующие задачи).

Введение понятия непрерывности функции в точке можно начать с рассмотрения графиков функций на рисунке 17 и выполнения задания – сравнить эти графики и высказать суждение о поведении графиков в точке х₀.

Рис.17

Затем полезно построить графики функций 1) - 6),

1) y = x + 1; 2) ; 3) 4) 5)

6)

сравнить их с графиками функций на рисунке 17 и попробовать сделать общие для двух случаев выводы об их свойствах.

Дальнейшее обобщение позволяет сформулировать следующие "определения": если график функции "не разрывается" в точке х₀, то говорят, что функция в этой точке непрерывна, а если "разрывается" – не является непрерывной (наглядно-интуитивное определение). Среди наших графиков первому случаю соответствуют графики функций 1) и 6). Чтобы перевести это определение на математический язык, ответим на вопрос: "Что характерно для таких функций?'" Во-первых, функция определена в точке хо, во-вторых, при хx₀ стремится к конкретному числу (пределу), в-третьих, этот предел равен значению функции f(х₀). Именно эти свойства и составляют определение непрерывности функции в точке; во всех остальных случаях (проверьте на рисунках!) какое-либо из них отсутствует, и поэтому функция не является непрерывной в точке. В качестве упражнения, найдите среди построенных графиков функции, непрерывные в точках x₁=0, x₂=1; непрерывные в каждой точке числовой прямой; не являющиеся непрерывными в некоторой точке (в какой именно). Для учащихся более высокого уровня возможен дальнейший “перевод” определения непрерывности функции в школе на язык приращений, классификация точек разрыва и исследование функций на непрерывность на основе этих определений.

Из методической литературы (например, [3, гл. XVII, п. 5], [4, гл. 9, п. 29] и др.) и опыта преподавания математического анализа известно, что нет лучшего способа введения понятия производной, чем решение классических “подводящих” задач – о нахождении мгновенной скорости прямолинейного движения, о проведении касательной к графику функции, о линейной плотности в точке, о мгновенной величине тока, о теплоёмкости тела, о скорости химической реакции и т.п. Правда, не всегда отмечается, что необходима аналогичная предварительная работа и с не менее трудными для усвоения понятиями приращения аргумента, приращения функции и их отношения. Геометрический смысл этих понятий будет понятней при повторении понятий секущей и касательной из курса геометрии, а для учащихся более высокого уровня – представление о возможности представить в достаточно малой окрестности любую функцию как линейную. В различных областях знаний для характеристики многих процессов явлений используется отношение приращения величин (функции и аргумента); например, из курса физики известны понятия средней скорости неравномерного движения , средней линейной плотности неоднородного стержня , средней величины переменного тока в цепи и другие, которые используются в “подводящих” задачах. Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда это приращение стремится к нулю, которые, главным образом, заключаются в отыскании скорости изменения соответствующей функции, оказалось необходимым и возможным решить эти задачи с помощью одной и той же математической модели – производной функции. Особенно важно рассмотрение закономерностей исследования этой модели на задаче о касательной, типы упражнений к которой хорошо известны. Дальнейшее развёртывание изучения производной и её приложений в школе традиционно.

Особенности изучения понятия интеграла в школе связаны ещё с тем, что здесь не используется понятие неопределённого интеграла, что создаёт, на наш взгляд, ненужное противоречие с логикой построения соответствующих понятий в науке (см. п. 5.1.2.) и искусственные трудности в их изучении, которых можно избежать. С этих позиций, а также с точки зрения общих подходов к изучению элементов математического анализа, отмеченных выше, возможна приводимая ниже технологическая цепочка изучения этого раздела.