5.4. Основные типы математических и примеры учебных задач

5.4.1. Основными типами сложных математических задач в этой линии являются: "Исследовать функцию", "Построить график функции на основе исследования" и множество составляющих их более простых задач на исследование отдельных свойств функций и овладение математическим аппаратом их решения.

Общий прием (общая схема) исследования функций рассмотрена в п.5.1.1. и приводится в том или ином варианте во всех школьных учебниках алгебры и начал анализа. Значительно меньше уделяется внимания приемам выполнения действий, входящих в состав этого сложного общего приема. Приводим некоторые из них в качестве обобщенных приемов решения задач, входящих в схему исследования функций.

Прием отыскания области определения функции, заданной аналитически

1) исследуйте выражение, задающее функцию; если функция f задана а) алгебраической суммой или произведением элементарных функций f₁, f₂, ... f_n,. область определения которых известна, то ; б) дробным выражением, то D_f не принадлежат те значения х, которые обращают знаменатель в ноль; в) иррациональным выражением, то в D_f входят только те значения х, при которых подкоренное выражение неотрицательно; г) выражением, содержащим функции log_a x, lg x, ctg .x, arcsin x, arcos x, arctg x, то D_f не принадлежат те значения х, при которых эти функции не определены.

2) На основании проведенного исследования составьте и решите систему уравнений и неравенств.

Прием построения графика функции:

В зависимости от того, что известно о функции, постройте ее график одним из следующих способов:

A) По точкам (на основании определения графика):

1) задайте таблицу возможно большого количества пар соответствующих значений аргумента и функции, удобных для вычислений (или используйте микрокалькулятор);

2) постройте в выбранной системе координат точки с координатами, соответственно равными значениям аргумента и функции;

3) соедините полученные точки плавной линией.

Б) По характеристическим точкам (если они существуют и общий вид графика известен, например, у прямой или параболы):

1) найдите (вычислите координаты) и постройте в выбранной системе координат характеристические точки графика данной функции;

2) зная общий вид графика, соедините точки известной линией.

B) Путем сдвига и деформации графика известной функции у = f(x), связанной с данной некоторыми соотношениями, по правилам:

1) у = f(x) + b – параллельный перенос графика у = f(х) на вектор (0; b);

2) у = f(x+a) – параллельный перенос графика у = f(x) на вектор (– a; 0);

3) у = k f(x) – умножение ординаты графика y = f(x) на k (при k > 1 – растяжение и при 0 < k < 1 – сжатие к оси абсцисс);

4) y = – f(x), частный случай предыдущего при k = –1 – симметрия графика у = f(x) относительно оси абсцисс;

5) y = – f(kx) – деление ординаты графика y = f(x) на k (при k > 1 – сжатие и при 0 < к <1 – растяжение к оси ординат);

6) у = f(-x), частный случай предыдущего при k = – 1 – симметрия графика функции y = f(х) относительно оси ординат;

7) у = |f(x)| – симметрия относительно оси абсцисс тех участков графика функции у = f(х), которые расположены ниже ее;

8) y = f(|x|) – симметрия относительно оси ординат графика y = f(x), построенного на положительной полуоси абсцисс;

9) x = f(y) – симметрия относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Г) На основе общего исследования свойств функции и ее графика с помощью производной (установления точек экстремума, промежутков монотонности, вогнутости и выпуклости кривой и точек ее перегиба).

Чтобы определить промежутки монотонности функции, заданной графиком, нужно 1) мысленно поставить острие карандаша на линию графика функции и двигаться по нему вправо; 2) выделить промежутки значений аргумента, для которых движение по графику происходит вверх и для которых – вниз; 3) сделать вывод: в первом случае на отмеченных промежутках функция возрастает, во втором – убывает.

Чтобы исследовать функцию на четность или нечетность, нужно 1) про­верить область определения функции – симметрична ли она относительно нуля; 2) заменить в выражении у = f(x) х на -х; 3) упростить выражение для f(-х) и сравнить его c f(x); 4) сделать вывод на основании определения.

Чтобы исследовать функцию на монотонность с помощью производной, нужно 1) найти производную функции; 2) найти критические точки (в которых производная обращается в нуль или не существует), которые разбивают область определения функции на промежутки знакопостоянства производной; 3) составить специального вида таблицу с записью этих промежутков; 4) определить знак производной в каждом промежутке, отметив его в таблице; 5) сделать вывод о монотонности функции в каждом промежутке на основании соответствующих теорем, отметив его в таблице с помощью стрелки.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке (непрерывной на нем), нужно 1) найти критические точки функции, принадлежащие данному отрезку; 2) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка; 3) сравнить полученные значения, выбрать из них наименьшее и наибольшее; 4) записать ответ.

Прием решения текстовой задачи "на экстремум"

1) выбрать одну из величин, о которых говорится в задаче (часто – искомую) за переменную, обозначить ее (например, через х);

2) выбрать другую величину и выразить ее как функцию у = f(x) и определить по условию задачи отрезок, на котором она определена (математическая модель данной задачи);

3) найти наименьшее или наибольшее значение функции у = f(x) (или значение аргумента, в которых функция их достигает) на отрезке;

4) полученное решение "перевести" на язык задачи и записать ответ.

Прием решения задачи "Найти площадь фигуры с помощью интеграла"

1) сделать чертеж по условию задачи;

2) установить, является ли полученная фигура криволинейной трапецией; если "да" - применять формулу вычисления площади криволинейной трапеции, если "нет", то п. 3;

3) представить полученную фигуру в виде суммы или разности криволинейных трапеций;

4) определить для каждой криволинейной трапеции начало и конец отрезка на оси ОХ (которые служат пределами интегрирования и записать соответствующий интеграл;

5) если удобно, составить общую формулу для вычисления площади фигуры (ориентируясь на таблицу 20);

6) вычислить интегралы и записать ответ.

5.4.2. Примеры учебных задач:

1) Назовите несколько видовых понятий для понятия "функция", приведите примеры названных понятий.

2) Данные понятия пронумеруйте в отношении последовательности их подчинения по родо-видовому признаку: функция, квадратный трехчлен, соответствие, функция у = х².

3) Заполните пропуски так, чтобы было верным следующее предложение: “Среди графиков функций на рисунке 14 симметричными относительно начала координат являются графики, обозначенные буквой _______; симметричными относительно оси OY являются графики, обозначенные буквой ______.”

Рис. 14

4) Выберите правильный ответ из предложенных: если область определения функции f(x) симметрична относительно нуля и 1) f(-x) = f(x), 2) f(-x)= - f(x), то f(x) является а) четной, б) нечетной функцией; в) функцией общего вида.

5) Является ли линейной функция, заданная формулой: а) у = 2х -3; б) у = 7-9х; в) y=8x; г) ; д) ; е) y=x²-3; ж) у = 4(х-3)+(x+2)?

6) Какая из линий на рис.15 не является графиком функции от аргумента х?

Рис. 15

7) Установите соответствие между функциями и названиями их видов, поставив знак "+" в нужной клетке данной таблица (табл. 20);

Таблица 20

Функция Вид функции		y = x4	y= x3 – 9	y = x5	y = - 4x
Четная
Нечётная
Общего вида

8) Известно, что существует такое х М, что - х М и f(x) = f(-х). Можно ли утверждать, что это – определение четной функции? Если нет, то измените условие так, чтобы получить определение четной на множестве М функции.

9) Можно ли утверждать, что функция f четна на M, если для любого х М f(x)= f(-x)? Если нет, измените условие так, чтобы получить определение четной на множестве М функции.

10) Докажите на оснований определения, что функция F (х) – первообразная для f(x) на R: a) F (х) = x⁵ + 1; f(x) = 5х⁴ ; б) F (х) = Зх – cos x; f(x) = 3 + sin x. Приведите примеры пар функций F(x) и f(х) таких, что F(x) не является первообразной для f(х).