4.5. Специальные методы и приемы обучения

4.5.1. Основная идея методики изучения уравнений и неравенств в пропедевтическом курсе начальной школы исходит из задач арифметики и заключается в отыскании неизвестных компонентов арифметических действий на основании определений, правил выполнения действий и их свойств. В 5-6-х классах хотя и вводится на основе наглядно-интуитивных и практических методов подготовки к его восприятию определение уравнения, способы решения уравнений по-прежнему ограничиваются в основном использованием взаимосвязи между компонентами и результатами действий, но шагом вперед является использование при этом изученных простейших тождественных преобразований выражений – раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. При этом целесообразно достаточно быстро идти к алгоритму решения уравнений первой степени, используя для его обоснования наглядные, практические, игровые, индуктивные методы обучения. Аналогично для простейших линейных неравенств с переменной.

Возможность изучения и использования основных методов решения уравнений и неравенств появляется в основном курсе алгебры в связи с изучением общего понятия равносильности и примеров равносильных преобразований, а также простейших элементарных функций и их графиков. Для усвоения основных понятий и идей теории решения уравнений и неравенств большую роль играет графическое их решение, которое создает их наглядные образы и должно на первых этапах обучения предварять алгебраическое решение. Полезно познакомить учащихся с геометрической интерпретаций равносильности уравнений. Например, графическое решение уравнения 2х + 1 = х – 2 состоит в построении прямых: у = 2х – 1 и у = х – 2 и нахождения абсциссы точки пересечения прямых. В данном случае уго будет точка (–3; –5), а исходное уравнение равносильно уравнению х = – 3. Если построить прямые по формулам у = х и у = – 3, то они пересекутся в точке (–3; –3) с той же абсциссой.

Графическое решение уравнений, неравенств и их систем создает на том или ином уровне представления о методах аналитической геометрии, а решение задач из различных разделов математики с помощью уравнений и неравенств как их математической модели должно формировать представления учащихся о методе математического моделирования и о единой математике. Здесь содержится достаточно обширный материал для реализации уровневой дифференциации обучения.

Алгоритмический подход при алгебраическом решении сохраняет свое значение только для решения простейших уравнений и неравенств; здесь полезно использовать представление алгоритмов в виде блок-схем и программ их решения на ЭВМ. Однако учащиеся могут очень быстро убедиться в том, что выбор тождественных и равносильных преобразований для приведения данного уравнения или неравенства к простейшим представляет собой трудную задачу поиска решения и содержит достаточно элементов эвристики. Поэтому, наряду с изучением алгоритмов и формул решения простейших уравнений и неравенств, необходимо формирование приемов решения произвольного уравнения или неравенства, не являющегося простейшим, так как именно в них содержатся необходимые элементы эвристического поиска решения. В частности, полезно выделить отдельно прием поиска решения уравнения и неравенства (п.4.4.).

Очень важной является забота учителя и учащихся по предупреждению ошибок, приводящих к нарушению равносильности в процессе алгебраического решения уравнений и неравенств. Наиболее распространенные из них.

1) Ошибки в тождественных преобразованиях выражений в одной из частей уравнений или неравенств.

2) Неодинаковость или неправомерность действий, выполняемых в левой и правой частях. Например, от уравнения переходят к уравнению

(х-1)³ = (х+1)³; от 3x = к .

3) Упрощение левой и правой частей в отдельности, в результате чего может измениться ОДЗ.

4) Деление обеих частей на одно и то же выражение, вместо того, чтобы перенести все в одну сторону и вынести общий множитель за скобки.

5) Умножение обеих частей на одно и то же выражение, вместо того, чтобы перенести все в одну сторону и привести к общему знаменателю.

6) Извлечение квадратного корня из обеих частей с неумением поставить после этого правильный знак (плюс или минус); лучше также перенести все в одну сторону и разложить полученную разность на множители.

7) Возведение в квадрат обеих частей, что может привести к расширению ОДЗ; нельзя возводить в квадрат при тех значениях неизвестных, при которых хотя бы одна из частей отрицательна.

8) При замене переменной не определяется ОДЗ новой переменной; если это сделать, можно сразу отбросить те значения новой переменной, при которых данное уравнение (неравенство) не имеет решения. Например, если в показательном уравнении или неравенстве ввели замену у = 2^x , то сразу нужно заметить, что у > 0; тогда, если получились отрицательные значения у, их дальше рассматривать не нужно.

В некоторых случаях следить за правильностью выполнения преобразований бывает очень трудно, поэтому нужно приучать учащихся использовать все приемы проверки, в частности, наблюдение за ОДЗ уравнений и неравенств. В старшей школе, где изучаются в основном более трудные для усвоения по сравнению с простейшими алгебраическими трансцендентные уравнения и неравенства, этот вопрос приобретает особенно важное значение не только "внутреннее", для обучения их решению, но и "внешнее", для подготовки к поступлению в вуз, где такие задания являются основными.

Часто затруднения учащихся вызывают незначительные изменения в постановке задачи решения уравнений или неравенств. Например, “Найти середину интервала, который является решением данного неравенства…”, “Найти все корни данного тригонометрического уравнения…, принадлежащие данному промежутку...” и т.п. На такие задания учащиеся и абитуриенты часто реагирую репликой: "Мы таких задач не решали". Поэтому обобщение и усложнение приемов решения уравнений, неравенств и их систем должно доводиться здесь до такого уровня, чтобы ученик мог на его основе самостоятельно составить прием решения произвольного уравнения, неравенства или их системы в любой (в том числе, нестандартной) ситуации. Стоит подчеркивать и выделять как общее в процессе решения алгебраических уравнений и неравенств в основной школе, так и новое, специальное, связанное с особенностями решения трансцендентных уравнений и неравенств в старшей школе.

В старшей школе большой простор для организации дифференцированного обучения дает решение трансцендентных уравнений и неравенств, использование специальных и нестандартных методов решения, в том числе, графических и приближенных, решение сложных уравнений и неравенств из пособий для абитуриентов и олимпиадных.

Обучение школьников методам решения текстовых задач с помощью составления уравнений (и неравенств) начинается по действующей программе еще в начальной школе. Для облегчения самого трудного этапа – анализа содержания задачи – применяют графическую запись условия задачи, иногда – иллюстративную, как при решении арифметических задач, в частности, с помощью весов, затем схематическую и табличную (см. 12. в частности, Епишева О.Б., Крупич В.И. гл. II. §3)

4.5.2.

Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов

решения уравнений и неравенств

Таблица 16

№	Линия	Приемы решения уравнений и неравенств
1 1	Линейные уравнения с одной переменной. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Линейные неравенства с одной переменной и их системы.	1. Приемы решения простейших линейных уравнений с одной переменной на основе свойств компонентов действий. 2. Приемы решения простейших линейных уравнений с одной переменной на основе выполнения тождественных преобразований - раскрытия скобок и приведения подобных. 3. Прием решения задач с помощью составления линейного ура­внения. 4. Алгоритм решения простейшего линейного уравнения. 5. Обобщенный прием решения уравнения 1-й степени с одной переменной на основе приведения к простейшему обобщение приемов 1-2. 6. Прием графического решения уравнения 1-й степени. 7. Приемы решения систем линейных уравнений способом подстановки и сложения. 8. Прием графического решения систем линейных уравнений с двумя переменными. 9. Прием решения задач с помощью составления системы уравнений. 10. Прием решения линейного неравенства с одной переменной. 11. Прием решения системы линейных неравенств с одной переменной. 12. Обобщенный прием решения уравнений и неравенств 1-й степени с одной переменной (алгебраическим способом) – обобщение приемов 4 и 9. 13. Прием решения простейших уравнений и неравенств 1-й степени с параметрами. 14. Прием решения простейших уравнений и неравенств 1-й степени, содержащих переменную под знаком модуля.
2	Квадратные уравнения. Системы уравнений второй степени с двумя переменными. Квадратные неравенства.	15. Алгоритмы решения неполных квадратных уравнений. 16. Алгоритм решения полного квадратного уравнения стандартного вида по формуле и его частные случаи. 17. Прием решения приведенного и неприведенного полного квадратного уравнения по теореме Виета. 18. Обобщенный прием решения уравнения 2-й степени. 19. Прием графического решения уравнения 2-й степени. 20. Приемы решения систем уравнений 2-й степени способом подстановки и сложения, искусственные приемы. 21. Прием графического решения систем уравнений 2-й степени с двумя переменными. 22. Приемы решения квадратного неравенства – графически и методом интервалов. 23. Прием решения системы неравенств второй степени с одним переменным. 24. Прием решения дробно-рациональных уравнений. 25. Прием решения дробно-рациональных неравенств методом интервалов. 26. Прием решения простейших уравнений и неравенств 2-й степени с параметрами. 27. Прием решения простейших уравнений и неравенств 2-й степени, содержащих переменную под знаком модуля. 28. Обобщение приемов 5 и 18; 6 и 19; 7. и 20; 8 и 21,11 и 23; 13 и 26; 14 и 27. 29. Обобщенный прием решения задач с помощью составления уравнений 1-й и 2-й степени и их систем.
3	Алгебраические уравнения высших степеней. Алгебраические неравенства высших степеней. Иррациональные уравнения неравенства.	30. Приемы решения алгебраических уравнений степени выше 2-й разложением левой части на множители и подстановкой. 31. Приемы решения алгебраических неравенств выше 1-й степени методом интервалов. 32. Прием решения иррациональных уравнений. 33. Прием решения иррациональных неравенств. 34. Обобщение приемов 5, 18,24,30. 35. Обобщение приемов 10, 22, 25, 33.
4	Показательные уравнения и неравенства. Логарифмические уравнения и неравенства. Тригонометрические уравнения неравенства. Трансцендентные уравнения и неравенства	36. Алгоритмы решения простейших показательных уравнений и неравенств. 37. Приемы приведения показательных уравнений и неравенств к простейшим. 38. Обобщенный прием решения показательных равнению неравенств. 39. Алгоритмы решения простейших логарифмических уравнений и неравенств. 40. Приемы приведения логарифмических уравнений и неравенств к простейшим. 41. Обобщенный прием решения логарифмических уравнений и неравенств. 42. Алгоритмы решения простейших тригонометрических уравнений по формулам. 43. Приемы графического и геометрического решения простейших тригонометрических неравенств. 44. Приемы приведения тригонометрических уравнений и неравенств к простейшим. 45. Обобщенный прием решения тригонометрических уравнений и неравенств. 46. Обобщенные приемы решения систем уравнений и неравенств. 47. Частные приемы приближенного решения трансцендентных уравнений и неравенств. 48. Обобщение и систематизация всех приемов решения уравнений, неравенств, их систем и совокупностей.

Технологическая цепочка обучения решению уравнений

Основными задачами обучения в данном случае являются: а) усвоение учащимися понятия уравнения и отдельных его видов и б) формирование обобщенного приема решения. В процессе решения уравнений с одной переменной алгебраическим способом (как и других видов уравнений и неравенств с переменной) мы выделили выше две части. Вторая часть (решение простейших уравнений или неравенств по известным формулам или алгоритмам) является алгоритмической, а первая (преобразование данного уравнения или неравенства к одному или нескольким простейшим данного вида) – в значительной степени (и тем большей, чем сложнее уравнение) – эвристической, представляющей наибольшую трудность для учащихся. Учитывая закономерности введения нового математического понятия и обобщения знаний и приемов деятельности, связанные с постепенным накоплением видов уравнений и "фонда" их тождественных и равносильных преобразований, данная технологическая цепочка должна иметь следующий вид:

1) мотивация введения нового вида уравнения (как правило, с помощью интересной текстовой задачи, которую пытаются решить с помощью составления уравнения, а полученное уравнение и способ его решения не известны;

2) подведение к понятию нового вида уравнения и введение его определения;

3) классификация понятия нового вида уравнения, выделение частных случаев и простейших уравнений (уравнений стандартного вида), ее наглядное представление;

4) решение простейших уравнений данного вида (по аналогии с изученными ранее, "по соображению" и т.п.);

5) анализ действий, необходимых для их решения;

6) вывод алгоритма (формулы, правила) решения, его наглядное представление и отработка;

7) решение несложных уравнений данного вида, не являющихся простейшими;

8) анализ действий, необходимых для их решения с применением алгоритма (формулы, правила):

9) формулировка частного приема решения, его наглядное представление;

10) применение полученного частного приема по образцу, в сходных ситуациях, в легко осознаваемых вариациях образца;

11) решение текстовых задач, приводящих к решению уравнений с помощью полученного частного приема;

12) работа по описанным этапам 4-11 для следующих по программе видов уравнений:

13) сравнение полученных частных приемов решения, выделение общих действии в их составе и формулировка обобщенного приема решения уравнений двух-трех видов;

14) применение обобщенного приема решения уравнений и текстовых задач в различных ситуациях:

15) перенос и создание на его основе новых частных приемов для решения других видов уравнений и его использование для решения текстовых задач.

Аналогичная цепочка может быть построена для обучения решению неравенств с переменной, с дополнительным использованием при этом сравнения с уравнениями.

Иллюстрацию к этой цепочке можно посмотреть в статье “Формирование приемов учебной деятельности учащихся при обучении математике” [Епишева ОБ. // Математика в школе, № 1, 1989, с. 31 – 37].