Лекция V. Функции и начала анализа

5.1. Логико-математический анализ функциональной линии

5.1.1. Основным понятием функциональной линии и всего курса начал анализа является понятие функции – одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловленность реальных объектов и явлений. Ф. Клейн считал понятие функции центральным понятием всей математики. Понятие функции развивалось в процессе развития математики. Долгое время функция отождествлялась с формулой; так. Л. Эйлер в середине XVIII в. под функцией переменного понимал всякое аналитическое выражение, составленное из этого переменного и постоянных. С развитием науки такое определение стало не только искусственно ограничивать объем понятия функции (отождествляя ее только с одним из способов ее задания), но и приводить к противоречиям. Например, на основе этого определения не имели права на существование функции, заданные кусочно, таблицей, графиком.

Со времен Н.И. Лобачевского и Л. Дирихле в математике укрепилось новое представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой, при чем совершенно не важно, каким способом она установлена. Но и оно оказалось несвободным от недостатков, т.к. определялось через никак не разъясняемые понятия величины, изменения и зависимости. В современной математике (математике XX в.) существует несколько вариантов определения понятия функции: 1) функция – первичное (неопределяемое) понятие математического анализа; 2) функция – отображение одного X числового множества на другое У (где понятие отображения первичное); 3) функция как особое отношение, установленное между элементами множеств X и У; 4) функция как некоторое соответствие между элементами множеств X и У. Наиболее распространенное обозначение: f: Х  У, где f обозначает функцию (закон соответствия), множество X называется областью определения D(f), а множество У – областью значений (или областью изменения) Е (f) функции f.

Обратим внимание на то, что в этом определении, подчеркивающем соответствие между элементами любой природы, исключен не только термин "величина", но и термин "переменная", не упоминаемся о взаимной изменяемости двух величин, находящихся в функциональной зависимости, которая фигурирует во всех определениях функции от возникновения этого понятия до начала XX в. Соответствие дано как бы в готовом, застывшем виде, и это статическое определение не случайно. Его цель исключить из формулировки неявно присутствующее в динамических определениях (говорящих о переменных величинах и их изменяемости) понятие времени, привнесенное в математику из механики. В то же время это самое общее определение функции в математическом анализе почт не находит применения, т.к. весь классический анализ был построен без него. Таким образом, для первоначально изучения в нем нет необходимости, тем более что оно трудно для понимания учащихся. Проф. А.Я. Хинчин считал полезным сохранить идею переменной величины в определении функции даже для первою курса физико-математических факультетов.

Чаще всего рассматриваются функции, область значений которых – числовое множество (числовые функции); в противном случае это обычно отмечается в названии (вектор-функция, или функция, принимающая матричные значения и т.п.). Для нечисловых функций употребляют термины оператор, функционал и т.д. Функция может быть задана одним или несколькими аналитическими выражениями, словесным определением (вербально), таблицей, графиком, графом (стрелочное задание функции) и т.д., лишь бы был задан закон однозначного соответствия: х  у = f(х). Если функция f ставит в соответствие элементу х элемент у, а функция q – элементу y элемент z, то говорят, что функция z = h(х) есть сложная функция (функция от функции), составленная из функций q и f и пишут h(х)= q(f(x)).

С понятием функции связана система функциональных понятий (см., например, [6, с. 8], вузовские и школьные учебники математического анализа, где представлена также в том или ином виде общая схема исследования функций), используемых для изучения (исследования) различных свойств функций. В общем случае примерная схема исследования функций (изучения ее свойств) предусматривает решение следующих задач:

1) выявление в явном виде области определения и области значений функции, которые, как правило, заданы неявно тем или иным способом – задания функции;

2) построение, если нужно, графика функции (или др. наглядного вида);

3) исследование функции на четность – нечетность (сравнением f(-х) с f(х));

4) исследование функции на периодичность (сравнением f(x) c f(x+l), l 0);

5) отыскание нулей (корней) функции (решением уравнения f(x) = 0);

6) отыскание промежутков знакопостоянства функции (решением неравенств f(x) > 0 и f(х) < 0);

7) исследование функции на дифференцируемость (отыскание производной f(x), если она существует);

8) исследование функции на монотонность (определением знака разности f(x₂) – f(x₁) при х₂ > х₁ (х₂ – x₁ > 0);

9) исследование функции на экстремумы (с помощью производной) и ограниченность (доказательством неравенств |f(x)|  М и |f(х)|  m);

10) исследование функции на непрерывность на основе определения и свойств непрерывных функций;

11) исследование функции на интегрируемость (отыскание первообразной, если она существует;

12) установление существования обратной функции х = f(y).

Существует два основных метода исследования свойств функций: 1) эле­ментарными средствами – а) с помощью графика или другого графического или наглядного способа задания; б) с помощью аналитической формулы на основе определения) и 2) средствами дифференциального исчисления –с помощью производной на основе связи ее свойств с некоторыми свойствами функции, выраженных соответствующими теоремами (см. учебники математического анализа). Например, для линейной функции у = kx + b можно по графику определить, что при к > 0 она возрастает, а при к < 0 убывает на всей области определения. Т.к. 1а) если двигать точку по ее графику слева направо, то эта точка при к>0 поднимается вверх, а при к<0 движется вниз; 1б) пусть х₂>x₁ (х₂-х₁> 0), составим разность f(x₂) – f(x₁) = kx₂ + b – (кх₁+b) = к (х₂ – х₁) и это произведение положительно при к > 0, что означает возрастание функции при любых х₁ и х₂ из области определения, а при к < 0 – убывание; 2) при f’(x) = k > 0 функция возрастает, при f’(х) = k < 0 – убывает. Эта же функция – не периодическая, т.к. а) на ее графике нет одинаковых ординат (никакие отрезки графика не повторяются); 6) f(x+l) =kx + b + l = kx + b = f(x) только при 1 = 0.

Уже к XVII в. были достаточно хорошо изучены так называемые элементарные функции – класс функций, включающий в себя многочлены и рациональные (алгебраические) функции, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические (трансцендентные) функции, а также функции, получаемые из перечисленных с помощью четырех арифметических действий и процедуры образования сложной функции, примененных конечное число раз.

Классификация элементарных функций (таблица 17)

Таблица 17

5.1.2. Как уже отмечалось [1, лк. 4, п. 2, с. 58], в процессе реформы математического образования появилось ряд программ, включающих элементы математического анализа, к которым относят понятия: предел и непрерывность функции, производная функции и интеграл от функции; методы исследования функций, основанные на этих понятиях: метод пределов, методы дифференциального и интегрального исчисления, а также их простейшие приложения и понятие о дифференциальном уравнении, последовательностях и рядах.

Понятия предел и непрерывность называют фундаментом всего здания матанализа, а метод пределов является основным методом, которым оперирует математический анализ. Его составляют: последовательность как функция натурального элемента и ее предел, предел функции в точке и на бесконечности, бесконечно малые и бесконечно большие, теоремы о пределах и правила отыскания пределов, замечательные пределы. На понятии предела основаны: определения понятий непрерывности функции в точке и точек разрыва, метод исследования функций на непрерывность, отыскание асимптот графика функции, исследование поведения функции вблизи точек разрыва и на бесконечности.

Понятие производной функции (определяемое через понятие предела функции) – важнейшее понятие математического анализа, основное в дифференциальном исчислении и исходная база построения интегрального исчисления, модель многих процессов и явлений (мгновенная скорость прямолинейного движения, угловая скорость вращающегося тела, скорость химической реакции в данный момент времени, линейная плотность неоднородного стержня, мгновенная величина тока, теплоемкость тела при нагревании, производительность труда в данный момент времени и т.п.). Составляющие аппарата дифференциального исчисления (основоположниками которого считаются И. Ньютон и Г. Лейбниц): 1) понятия производной и дифференциала, их свойства, формулы и правила дифференцирования (операции, получившей название от задачи отыскания дифференциала функции), производные основных элементарных функций; 2) теоремы о связи свойств производной со свойствами функций и их графиков; 3) применение производной к исследованию функций (на монотонность, экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функции) и решению прикладных задач.

Задача, обратная дифференцированию функции, приводит к понятию первообразной, имеющей бесконечное множество значений F(x) + С. Это множество первообразных получило название неопределенного интеграла, а задача, обратная дифференцированию – интегрирования (т.е. отыскания неопределенного интеграла); с ее помощью решаются все те задачи, в которых нужно восстановить функцию по ее производной (найти закон движения по известному закону изменения его скорости, найти уравнение кривой по угловому коэффициенту касательной к ней в некоторой точке и др.).

Особую роль в развитии дифференциального и интегрального исчисления играет классическая задача об отыскании площади S (х) криволинейной трапеции, образованной графиком функции у = f(х)  0, непрерывной на отрезке [a, b], и ординатами точек а и b. Эта задача возникла еще в древности (когда нужно было вычислить площадь земельного участка, ограниченного с трех сторон межевыми линиями, а с четвертой – рекой); одно из первых ее решений принадлежит Архимеду, который использовал для этого “метод исчерпывания”. Эта задача может быть решена приведением к уравнению S^’(х) = f(х), т.е. к отысканию одной из первообразных данной функции – неопределенного интеграла. Приращение этой первообразной на отрезке [а, b] равно площади криволинейной трапеции с основанием [а, b]. Другое решение приводит к вычислению предела специального вида интегральных сумм, который называется определенным интегралом и численно равен площади криволинейной трапеции.

Связь между неопределенным и определенным интегралом выражена формулой Ньютона-Лейбница с использованием понятия интеграла с переменным верхним пределом (знак интеграла введен Г. Лейбницем в 1678 г.; со второй половины XIX в. понятие интеграла подвергалось ряду обобщений и привело к таким понятиям, как несобственный интеграл, криволинейный интеграл, поверхностный интеграл, интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Стилтьеса и др.).

Другой подход – определенный интеграл от функции f(х) в пределах от а до b есть приращение ее первообразной F(b) – F(a).

Составляющие аппарата интегрального исчисления: 1) понятия неопределенного и определенного (а затем и других видов) интеграла, их свойства, формулы и методы интегрирования (основные – непосредственное интегрирования, метод подстановки, метод интегрирования по частям, приближенное вычисление), интегралы от основных элементарных функций; 2) применение интеграла к выводу формул вычисления различных неоднородных величин в геометрии (площади фигуры и поверхности, объема тела, длины дуги) механике (длины пути неравномерного движения, массы неоднородного стержня, работы переменной силы), гидравлике (давления жидкости) и т.д. и к решению прикладных задач в этих дисциплинах (см. вузовские учебники или лекции).