3.4. Основные типы математических и примеры учебных задач.

3.4.1. Основными типами математических задач в этой линии являются: «Упростить выражение", "Найти числовое значение выражения наиболее рациональным способом", "Разложить выражение на множители", "Доказать тождество (неравенство)". Ниже приведены приоритетные обобщенные приемы их решения.

Прием решения задачи "Упростить выражение":

1) изучите особенности данного выражения;

2) установите, какие из следующих тождественных преобразований нужно выполнить, чтобы привести данное выражение к простейшему (стандартному) виду: а) общие алгебраические преобразования: раскрытие скобок, приведение подобных, разложение на множители, сокращение дробей и действия с дробями, б) специальные преобразования: правила действий со степенями, корнями, логарифмами, использование тригонометрических тождеств;

3) выполните выбранные преобразования, используя соответствующие частные приемы;

4) запишите ответ, если нужно, упростив его.

Прием решения задачи

"Найти числовое значение выражения наиболее рациональным способом ":

1) изучите особенности данного выражения и характер числовых данных;

2) установите, можно ли упростить выражение а) до подстановки числовых значений букв, б) после подстановки числовых значений букв;

3) если можно, упростите выражение, используя соответствующий прием, подставив числовые значения букв в случаях а) или б);

4) выполните вычисления, соблюдая порядок действия и используя соответствующие приемы вычислений;

5) запишите ответ.

Прием решения задачи "Разложить выражение на множители":

1) изучите особенности данного выражения;

2) если есть общий множитель у всех слагаемых, вынесите его за скобки;

3) рассмотрите выражение, освобожденное от общего множителя; установите, нельзя ли использовать: а) формулы сокращенного умножения, б) правила действий со степенями, в) правила действий с корнями, г) потенцирование, д) формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и следствия из них;

4) если п. 3 не имеет места, установите, нельзя ли применить способ группировки, ориентируясь на а) знаки слагаемых, б) их коэффициенты, в) их степени и разложение по степеням какого-либо множителя, г) тригонометрические тождества, д) преобразования о. 3 к какой-либо группе слагаемых;

5) выполните выбранные преобразования, используя соответствующие приемы;

6) запишите ответ.

Прием решения задачи "Доказать тождество (неравенство) ":

1) изучите особенности выражений в каждой части равенства (неравенства)

2) установите, какое из следующих общих алгебраических преобразований удобно использовать для доказательства тождества (неравенства): а) упростить одну его часть так, чтобы получить вторую, б) упростить обе части так, чтобы получить верное равенство (неравенство), в) разложить одну или обе части на множители, г) сократить дробь, д) подобрать верное равенство (неравенство) или известное тождество (тождественное неравенство), каким-либо образом связанное с данным, и преобразовать его так, чтобы получить данное, е) доказать, что разность частей равна нулю (больше или меньше нуля);

3) установите, какие из следующих специальных преобразований можно использовать: а) разделить числитель и знаменатель дробного выражения на одно и то же выражение, б) возвести обе части равенства (неравенства) в степень, в) извлечь из обеих частей корень, г) прологарифмировать или пропотенцировать обе части, д) заменить равенство более простым с помощью алгебраических или тригонометрических тождеств;

4) выполните эти преобразования, используя соответствующие приемы;

5) сделайте вывод.

Примеры частных приемов и алгоритмов

Чтобы разделить многочлен на многочлен ("под утлом"), нужно 1) расположить делимое и делитель по степеням какой-нибудь переменной; 2) разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен записать первым членом частного; 3) первый член частного умножить на делитель, результат записать под делимым в соответствии со степенями слагаемых и произвести вычитание; полученная разность является первым остатком; 4) для отыскания второго члена частного выполнить с первым остатком те же действия, что и с делимым в п.п. 2 и 3; 5) продолжать действия п. 4 до тех пор, пока не получится остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже степени делителя. В первом случае говорят, что деление многочлена на многочлен выполнимо во множестве целых выражений.

Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множи­теля за скобки, нужно: 1) найти общий множитель всех членов многочлена (коэффициент – по правилу отыскания НОД чисел, для каждого буквенного множителя – степень с данным основанием и наименьшим натуральным показателем); 2) записать найденный общий множитель перед скобкой; 3) в скобках – сумму частных от деления всех членов многочлена на общий множитель.

Чтобы перемножить корни с разными показателями, нужно 1) привести их к общему показателю; 2) перемножить юс подкоренные выражения; 3) из результата извлечь корень степени с общим показателем.

3.4.2. Примеры учебных задач:

1. Данные понятия пронумеруйте в отношении последовательности их подчинения по родовидовому признаку: одночлен, алгебраическое выражение, целое выражение, многочлен.

2. Является ли одночленом стандартного вида выражение

а) 3,4 х²y; б) а (-8); в) х² + x; г) х²x;

д) 0 - 5т2 п; е) - bса; ж) а - b; з) e¹⁰;

и) 0,6 ; к) - 0,3xy²; л) 2 (х + у) ?

3. Назовите старший член многочлена:

а) -5 х + 0,001 x⁸ + 300 x⁶ + 1;

б) 0,8 у² - у¹⁰ + 1.

4. Назовите степень многочлена:

а) х⁶y² + у⁶ - 2х ⁶ - 3ху²;

б) 8а²b + Заb² + b⁴.

5. Исключите лишнее выражение из числа данных:

3 x², -4 х, 3х + 8у² - 7, 4y, 18 х².

6. Напишите не менее 10-ти выражений, равных единице при любых допустимых значениях переменных.

Например, , log_a a= 1 и т.п.

7. Увеличится или уменьшится правильная дробь , если к числителю и знаменателю ее прибавить одно и то же натуральное число?

8. Сколько раз следует взять слагаемым число а, чтобы получить aⁿ?

9. Докажите теорему: чтобы возвести в квадрат смешанное число, дробная часть которого есть , достаточно целую его часть умножить на следующее натуральное число и к произведению приписать .

10. Может ли логарифм числа быть равен этому числу?

11. Найдите ошибку в приведенном решении:

а) В каждом из двух доказательств неравенства "3 > 4": "возьмем верное неравенство ;

1) логарифмируем обе части полученного неравенства по основанию :

.

2) логарифмируем то же неравенство по основанию 10:

.

б) В выполненном преобразовании: .