4.4. Основные типы математических и примеры учебных задач

4.4.1. Основными типами математических задач в этой линии являются: "Решить уравнение (неравенство, систему, совокупность)", "Решить текстовую задачу алгебраическим методом". Приоритетные обобщенные приемы их решения приведены ниже.

Прием решения уравнения (неравенства, системы, совокупности) алгебраическим методом:

1) определите, является ли данное уравнение (неравенство, система, совокупность) простейшим какого-либо вида; если "да", то выполнять п. 5, если "нет" – п. 2;

2) определите, если необходимо. ОДЗ уравнения (неравенства, системы, совокупности);

3) установите, какие и в каком порядке необходимо выполнить тождественные (общие: раскрытие скобок, приведение подобных, разложение на множители, приведение к общему знаменателю и специальные для данного вида) и равносильные (общие: перенесение слагаемых из одной части в другую, умножение или деление обеих частей на одно и то же число, замена переменной и специальные для данного вида) преобразования, чтобы привести данное уравнение (неравенство, систему, совокупность) к простейшим данного вида;

4) выполните выбранные преобразования, используя соответствующие приемы;

5) решите известным способом (по формуле, алгоритму) полученные простейшие уравнения (неравенства, системы, совокупности);

6) если нужно, сделайте проверку, исследование, выполните дополнительные требования к задаче;

7) запишите ответ, используя приемы записи решения (для уравнений – в виде равенств, для неравенств – промежутков, для систем – как пересечение, для совокупностей – как объединение решений составляющих их уравнений и неравенств).

Прием графического решения уравнений и неравенств:

1) если нужно, преобразуйте уравнение (неравенство) к виду f(х) = g(x) (f(x)>g(x)), выбрав f(х) и g(x) наиболее простого вида;

2) постройте графики функций у = f(x) и y = g(x) в одной и той же системе координат;

3) найдите абсциссы точек пересечения графиков х₀; каждая из них есть корень уравнения;

4) найдите промежутки оси абсцисс, для которых график функции y = f(x) расположен выше графика функции у = g(х); эти промежутки связаны с корнями уравнения х₀.

5) запишите ответ.

Прием решения неравенств с переменной методом интервалов:

1) приведите, если необходимо, неравенство к виду f(х) >0 (f(x)< 0),

2) найдите корни функции у = f(x) в области ее непрерывности и точки разрыва (если они существуют) – критические точки функции;

3) отметьте полученные значения х на числовой оси (полезно корни функции отмечать заштрихованным кругом, а точки разрыва – окружностью);

4) определите знак функции у = f(х) в каждом из полученных интервалов числовой оси подстановкой наиболее удобных значений х из каждого интервала или используя свойство непрерывной функции о перемене знака);

5) выберите нужные по условию интервалы и запишите ответ.

Прием решения уравнения (неравенства) с параметром

1) разбейте область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении параметра в каждом из них получающиеся уравнения (неравенства) можно решить одним и тем же методом;

2) отдельно для каждого промежутка найдите корни (решения) уравнения (неравенства), выраженные через значение параметра, используя методы решения уравнений и неравенств с постоянными коэффициентами;

3) запишите ответ как перечисление промежутков изменения параметра с указанием для каждого из них всех корней (решений) уравнения (неравенства).

Прием решения текстовых задач алгебраическим методом

1) изучите содержание задачи, т.е. выявите: а) названия содержащихся в ней величин; 6) связи и отношения между ними; в) количество различных ситуаций в задаче и преобладающую из них (сравните с типами арифметических задач); г) известные и неизвестные величины и связи между ними (иногда удобно полученные таким образом данные записать в таблицу);

2) в зависимости от данных, полученных в п.1, выберите величину (или две, три и т.д.), которую естественно и удобно (наиболее выгодно для решения) принять на неизвестное, обозначьте ее с использованием принятых обозначений в различных ситуациях;

3) на основе п.1 выразите все величины в задаче через неизвестные и данные;

4) используя найденные зависимости и связи между величинами, установите равенство или неравенство одноименных величин и составьте на этой основе уравнение (неравенство, систему);

5) решите полученное уравнение (неравенство, систему);

6) вычислите значения искомых величин;

7) сделайте, если нужно, проверку (исследование) решения по условию задачи;

8) запишите ответ в терминах данной задачи.

Специальный прием решения уравнений и неравенств первой степени с одной переменной

1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) линейным, т.е. вида ах  b; если "да", то п. 4, если "нет" – п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить общие для всех уравнений и неравенств тождественные и равносильные преобразования (см. общий прием), чтобы привести уравнение (неравенство) к линейному.

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к линейному.

4. Решить полученное линейное уравнение (неравенство), используя соответствующие алгоритмы.

5. Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные требования к задаче.

6. Записать ответ, используя приемы записи решения и, если нужно, его изображение на числовой оси.

Замечание. Специальный прием решения уравнений и неравенств второй степени с одной переменной формулируется аналогично.

Специальный приём решения

рационального (дробного) уравнения и неравенства

1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида : если “да”, то п.4, если “нет” – п.2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить общие для всех уравнений и неравенств тождественные и равносильные преобразования (см. общий прием), чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшему.

З.С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к виду .

4. Заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой (совокупностью систем);

или и

система содержит а) целое уравнение, полученное из данного умножением на общий знаменатель Q(х), б) неравенство, характеризующее область определения дроби (совокупность систем получена из условия положительности дроби).

5. Решить полученные системы, используя соответствующие приемы.

6. Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные требования к задаче.

7. Записать ответ, используя приемы записи решения.

Специальный прием решения иррациональных уравнений и неравенств.

1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида ; если "да", то п. 4, если "нет" – п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим: общие для всех уравнений и неравенств преобразования (см. общий прием) и специальные, основанные на свойствах корней.

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшему.

4. Заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой:

для n = 2k или уравнением (неравенством)

для n = 2k + 1; система (или совокупность таких систем) содержит а) рациональное уравнение (неравенство), полученное из данного возведением в степень n, б) неравенства, характеризующие область определения корня четной степени.

5. Решить полученные системы уравнений и неравенств, используя соответствующие приемы.

6. Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные требования к задаче.

7. Записать ответ, используя приемы записи решения.

Специальный прием решения показательных уравнений и неравенств

1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида ; если "да", то п. 4, если "нет" – п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим: общие для всех уравнений и неравенств преобразования (см. общий прием) и специальные, основанные на свойствах показательной функции и степеней: уравнивание оснований степеней, действия со степенями, логарифмирование, переход от сравнения степеней к сравнению их показателей на основе свойства монотонности показательной функции.

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшему.

4. Заменить данное уравнение (неравенство) равносильным ему алгебраическим уравнением f(x) = g(x) (для неравенства f(x) > g(x) при a > 1 и f(x) < g(x) при 0 < a < 1).

5. Решить полученное уравнение (неравенство), используя соответствующий прием.

6. Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные требования к задаче.

7. Записать ответ, используя приемы записи решения.

Специальный прием решения логарифмических уравнений и неравенств

1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида log_a f(x)  log_a g(x); если "да", то п. 4, если "нет" – п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим: общие для всех уравнений и неравенств преобразования (см. общий прием) и специальные, основанные на определении логарифма и свойствах логарифмической функции: действия со степенями, логарифмирование, переход от сравнения логарифмов к сравнению выражений, стоящих под знаком логарифма, на основе свойства монотонности логарифмической функции.

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к простейшему.

4. Заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой: при а > 1 и при 0 < а <1, которая содержит а) алгебраическое уравнение (неравенство), полученное из данного на основании определения логарифма, свойств логарифмической функции или потенцированием, 6) неравенства, выражающие ОДЗ уравнения (неравенства).

5. Решить полученную систему уравнений и неравенств, используя соответствующий прием.

6. Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные требования к задаче.

7. Записать ответ, используя приемы записи решения.

Специальный прием решения тригонометрических уравнений и неравенств

1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида sin x  a, cos х  a, tg х  а; если "да", то п. 4, если "нет" – п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим: общие для всех уравнений и неравенств (см. общий прием) и специальные, основанные на тригонометрических тождествах и свойствах тригонометрических функций.

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к одному или нескольким простейшим.

4. Решить полученные уравнения (неравенства), используя соответствующие формулы.

5. Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные требования к задаче.

6. Записать ответ, используя приемы записи решения.

Приём поиска решения уравнения (неравенства, системы, совокупности):

1) определите, по виду уравнения (неравенства, системы, совокупности) и прикидкой, каким методом решения можно воспользоваться – алгебраическим, графическим, методом интервалов:

2) вспомните известный (специальный или общий) прием использования этого метода и соотнесите его с данным уравнением (неравенством, системой, совокупностью);

3) определите возможные затруднения при использовании одного метода решения;

4) определите необходимость и возможность комбинации различных методов решения;

5) разделите предполагаемый ход решения на части, соответствующие применению каждого метода, составьте план решения каждой из них;

6) составьте общий план решения в целом.

4.4.2. Примеры учебных задач:

1. По какому основанию имеет смысл сравнивать следующие пары математических понятий:

а) линейное и квадратное уравнение; б) линейное уравнение и линейное неравенство; в) линейное уравнение и тригонометрическое уравнение; г) линейное уравнение и прямоугольник; д) равенство и уравнение.

2. Из пяти предложенных терминов выберите два, которые наиболее точно определяют понятие уравнение – корень, равенство, сумма, неизвестная, произведение.

3. В приведенных ниже определениях выделите название определяемого объекта (термин), родовое понятие, видовые признаки и характер связи между этими признаками:

a) уравнение вида aх = b, где х – переменная, а и b – числа, называется линейным уравнением с одной переменной; б) значение переменной, которое обращает уравнение в верное равенство, называется корнем уравнения; в) квадратное уравнение, приведенное к нормальному виду, называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов (кроме первого) равен нулю.

4. Из данных понятий образуйте пары по признаку “род – вид”: равенство, неравенство, уравнение, тождество.

5. Укажите ближайшие родовые понятия для понятий: уравнение, неравенство, равенство, линейное уравнение, неполное квадратное уравнение.

6. Является ли каждое из данных уравнений квадратным:

х²+ х – 2 = 0, у² – 7у – 144 = 0, 5х – 2х² = 0, 3х + 2 = 0,

х² – Зх³ + 4 = 0, х² + 3/х + 4 = 0, 3 + 2x – х² = 0, 4х² = 0 ?

7. Можно ли назвать иррациональным уравнение

a) ; б) , в) ?

8. Являются ли числа – 2, – решениями неравенства |x| < 2 ?

9. Являются ли корнями уравнения х² – у + 2 = 0 числа х = 1, у = 3 ?

10. Являются ли данные числа корнями данного квадратного уравнения (табл. 15)?

Таблица 15

x2+4x – 77=0	3x2+7x – 6=0	6x2 – 7x + 2 = 0	4x2 – 5x = 0
7; –11	–3; 2/3	1/2; 2/3	0; 5/4

11. Даны иррациональное уравнение и корни, полученные при его решении. Какие из этих корней являются посторонними:

а) x₁ = 15, x₂ = 8; б) , x₁ =1, x₂ = ?

12. Уравнение имеет вид Р(х)/Q(х) = 0. где Р(х) и Q(х) – многочлены. При каком условии число х₀, являющееся корнем уравнения Р(х) = 0 будет корнем данного уравнения?

13. Равносильны ли уравнения а) х – 2 = 0 и (x – 2)(х + 2) = 4(х + 2);

б) Зх – 2 = х и ;

в) (х + 2)(x – 1) = 4 (х – 1) и х + 2 = 4;

г) х = 3 и х²= 9; д) х² – 4х+4 = 16 и х – 2 = 4;

е) (х – 4) (x – 1) (х + 1) = 0 и (х – 4) (х – 1)² = 0?

14. Равносильны ли неравенства а) 4х – 5 < 0 и 4х < 5;

б) – 2х + 5 > 0 и 2х –5 < 0;

в) – Зх² + 5х – 7 > 0 и Зх² – 5х + 7 < 0;

г) а > b и а² > b² при а > 0, b > 0; д) х + 1> 0 и (4х² + 12х + 9)(х + 1) > 0;

е) – 3(а + b)² (2х + 5) > 0 и 2х + 5 < 0 ?

15. Напишите три дробных решения неравенства |х| > 7. Приведите примеры чисел, не являющихся решениями данного неравенства.

16. Покажите на координатной прямой множество решений неравенства или уравнения: |х| = 7, |x| < 7, |х|  7, |х| > 7, |х|  7, |x| = – 7. Приведите примеры промежутков, не являющихся решением данных уравнений и неравенств.