Лекция IV. Уравнения и неравенства

4.1. Логико-математический анализ линии уравнений и неравенств

4.1.1. Главное отличие алгебры от арифметики состоит в том, что для решения задачи вводится неизвестное; выполняя над ним и данными в условии задачи определенные действия, тоже предусмотренные условием, получают выражение, которое можно приравнять к другому выражению; полученное уравнение позволяет найти неизвестное. Такой метод зародился еще в древности; так, в древнеегипетских папирусах есть задачи, при решении которых искомому давалось название "куча" и оно обозначалось соответствующим иероглифом. Древние вавилоняне уже за 2 000 лет до н. э. умели решать задачи сведением к системе линейных уравнений со многими неизвестными, к квадратным уравнениям и даже к частному случаю кубического уравнения; они разработали словесные правила решения уравнений. В древней Греции в III в. до н. э. алгебраические предложения и задачи обосновывали и решали геометрическими средствами ("геометрическая алгебра"). Диофант Александрийский (III в. до н. э.) в трактате "Арифметика" решал уравнения 1-й и 2-й степени, неопределенные уравнения. Он ввел краткие символические обозначения для неизвестных, их долей и степеней. В средние века математические знания древних унаследовали: IX-XV вв. – народы Средней Азии (уже упоминавшийся Мухаммед аль Хорезми и название "алджебр"), XVI в. – итальянцы решают уравнения 3-й и 4-й степени, француз Ф. Виет ввел буквенную символику для обозначения неизвестных величин, а Р.Декарт ее упорядочил.

Основными понятиями данной содержательно-методической линии и всего курса алгебры являются понятия: уравнение, неравенство с переменной, корень уравнения, решение неравенства с переменной, система и совокупность уравнений и неравенств. За длительное время развития алгебры менялся подход к определению этих понятий, что отражалось естественным образом в школьном курсе и что можно проследить на примере понятия уравнения. Уравнение (с одной переменной) – это:

- равенство двух выражений, в котором некоторые буквы считаются неизвестными, а остальные – известными;

- равенство, справедливое при некоторых значениях неизвестной (переменной) х;

- равенство значений двух функций f(x) = q (x);

- вопросительное предложение: существуют ли такие значения переменной х, при которых функции f(x) и q (x) имеют равные числовые значения?;

- высказывание (предложение) с переменной в виде равенства функций f(x) = q (x), относительно которого поставлена задача: найти такие значения переменной х. при которых это высказывание (предложение) истинно.

Если принять последнее определение (функциональный подход), то с ним необходимо связаны следующие понятия. Область определения уравнения (или область его допустимых значений – ОДЗ) – это множество значений переменной, для которых функции f(х) и q(x) определены. Корнем уравнения называется каждое значение переменной х из области определения уравнения, при которых высказывание f(x) = q(x) истинно. Решить уравнение – значит найти множество всех его корней. Два уравнения, множества корней которых совпадают, называются равносильными. Для неравенства с переменной, общий вид которого f(x )< q(x) или f(x) > q (x), определения аналогичны.

В зависимости от вида функций f(x) и q (x) различаются и виды уравнений и неравенств с переменной. Мы разделяем точку зрения проф. А.Г.Мордковича, реализованную им в программе и учебниках школьного курса алгебры (лекция 1, п.п. 1.2.1. и 1.3.1.). Поэтому классификация уравнений и неравенств с переменной (табл. 11) показана в связи с классификацией выражений (табл. 6) и классификацией функций (табл. 17).

Для каждого вида уравнений и неравенств в этой классификации можно составить уравнение или неравенство "с модулем" и "с параметром". Простейшие уравнения и неравенства с модулем имеют вид: f(|x|)  q(|x|) и |f(x)|  q (x); они решаются на основании определения модуля сведением к совокупности систем или заменой переменной |x| = t. Уравнения и неравенства с параметром (меняющимся коэффициентом). Чаще всего встречаются две постановки задач с параметрами: 1) для каждого значения параметра найти все решения данного уравнения (неравенства); 2) найти все значения параметра, при которых решения уравнения (неравенства) удовлетворяют данным условиям.

Таблица 11

В таблице 12 показаны источники возникновения и основные области приложений уравнений и неравенств.

Существует два основных метода решения уравнений и неравенств с переменной – алгебраический и графический.

Алгебраический метод основан на теоремах о равносильности уравнений и неравенств (о сложении и умножении обеих частей уравнения или неравенства на одно и то же, имеющее смысл в области определения, выражение) и иногда называется методом равносильных преобразований, которые являются следствиями из этих теорем. Равносильным преобразованием (или равносильным переходом) уравнения (неравенства с переменной) называется замена уравнения (неравенства с переменной) равносильным ему уравнением (неравенством с переменной), как правило, более простым (в конце концов, простейшим или уравнением стандартного вида). Для каждого вида уравнения (неравенства с переменной) выделены простейшие уравнения (неравенства), корни (решения) которых находятся с помощью формул или алгоритмов.

Таким образом, суть алгебраического метода решения уравнений (неравенств с переменной) заключается в следующем: 1) последовательный переход с помощью тождественных (преобразований, выполняемых в одной части – раскрытие скобок приведение подобных слагаемых, разложение выражения на множители и т.п.) равносильных преобразований от данного уравнения (неравенства с переменной) к более простым до тех пор, пока не получится одно или несколько простейших данного вида; 2) решение простейших уравнений (неравенств с переменной) по формуле или алгоритму.

Таблица 12

Равносильные преобразования уравнений и неравенств к простейшим можно разделить на две группы: 1) общие для всех видов уравнений и неравенств – следствия из теорем о равносильности и 2) специальные, основанные на свойствах функций f(х) и q(х). К первой труппе относятся 1) перенос слагаемых из одной части в другую; 2) сокращение членов уравнения (неравенства) на одно и то же число; 3) приведение уравнения (неравенства) к целому виду; 4) смена знака всех членов уравнения (неравенства); 5) замена уравнения вида f(х) q (х) = 0 на совокупность уравнений f(х)=0 и q(х)=0 (аналогично для соответствующего вида неравенства); 6) замена переменой. Примерами специальных преобразований являются: возведение обеих частей в степень с натуральным показателем или извлечение из обеих частей корня, логарифмирование и потенцирование, использование основных тригонометрических тождеств и т.д.

Суть графического метода решения уравнений (неравенств с переменной) заключается в отыскании значений перемен­ной х, соответствующей равным значениям функций f(x) и q (x) (промежутков, для которых f(x) и q (x)) с помощью точки пересечения графиков функций f(x) и q(х) (рис. 10).

Рис. 10

Частным случаем графического метода является метод интервалов, который остается от графического метода, если убрать ось ОУ и графики функций, а оставить то, что получилось на оси ОХ, т.к. этот результат можно получить и путем более компактных рассуждений. На рисунках 11 и 12 показана иллюстрация решения уравнений и неравенств ax+b  0, ax²+bx+c  0 графическим методом и методом интервалов.

Рис. 11

Рис. 12

Эти же методы используются для решения систем и совокупностей уравнений и неравенств. Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений (неравенств), то говорят, что нужно решить систему уравнений (неравенств). Если ставится задача найти множество всех значений переменных, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных уравнений (неравенств), то говорят, что нужно решить совокупность уравнений (неравенств). Отсюда следует, что множество решений системы есть пересечение множеств решений входящих в нее уравнений или неравенств, а совокупности – объединение этих множеств. Определения понятий "решение", "равносильность" для систем и совокупностей аналогичны определениям этих понятий для одного уравнения или неравенства; теоремы о равносильности отражают общее понятие равносильности и специфику понятий системы и совокупности.

Из теорем о равносильности систем уравнений с несколькими переменными следуют основные общие алгебраические методы их решения: метод подстановки, метод алгебраического сложения, введение вспомогательной переменной и некоторые искусственные приемы. Решение системы неравенств с одной переменной состоит в том, что решается каждое неравенство отдельно (причем в записи решения можно сохранять знак системы), а затем на основе определения выбирается общее решения. В первой части, как правило, используется алгебраический метод, во второй – метод интервалов. Решение совокупностей уравнений и неравенств – аналогично. "Переход к совокупности" используется для решения не только тех видов уравнений и неравенств, которые отмечены выше, но и содержащих такие уравнения или неравенства систем.

Графическое решение системы уравнений (с двумя переменными) есть отыскание координат х₀ и у₀ общих точек графиков уравнений системы (рис. 13 а). Графическое решение системы неравенств (с двумя переменными) есть пересечение частей плоскости, координаты точек которых удовлетворяют каждому из неравенств системы. На рисунке 13 б показано графическое решение системы

Рис. 13

Система неравенств с одной переменной решается методом интервалов.

Уравнения, неравенства, их системы и совокупности являются мощным средством решения разнообразных (так называемых, текстовых) задач. Решение задач таким (алгебраическим) методом является конкретным примером метода математического моделирования [1, лк. 11, с. 148 - 150, 158] и содержит все три его этапа. Математической моделью такой задачи служит уравнение (неравенство, их система или совокупность), решив которое "переводят" полученный результат на язык данной задачи.

4.1.2. В связи с особенностями тождественных преобразований иррациональных выражений, выражений, содержащих степени с произвольными показателями и логарифмы, и тригонометрических выражений, а также трансцендентных (отмеченных в п. 3.1.2.), появляются и особенности решения соответствующих уравнений и неравенств. Назовем их в том же порядке: первая – использование для преобразования уравнения или неравенства к простейшему общих и специальных тождественных преобразований; вторая относится к области определения уравнения или неравенства (ОДЗ), которая определяется из тех же соображений, что и область определения соответствующих выражений.

Третья особенность следует из второй, но связана уже с равносильными преобразованиями уравнений и неравенств. В определении равносильности ничего не говорится об ОДЗ уравнения (неравенства). Можно убедиться на примерах, что равносильные уравнения и неравенства могут иметь различные области определения:

1) уравнения , но ОДЗ первого – множество R, а второго – множество неотрицательных чисел [0;+);

2) уравнения x(x - 1) = 0 и х(х - 1)(х - 2) = 0 не равносильны, т.к. х = 2 является корнем второго и не является корнем первого, а их ОДЗ совпадают (R);

3) неравенства , неравенства х – 1 > 0 и х²–1 > 0 не равносильны, т.к. х = -2 является решением второго, но не является решением первого.

Поэтому для решения таких уравнений и неравенств часто пользуются понятием равносильности на множестве: два уравнения (неравенства) называются равносильными на множестве А, если совпадают множества всех их корней (решений), принадлежащие А. Кроме того, используется понятие следствия из уравнения (неравенства): если для данной пары уравнений (неравенств) любой корень (решение) первого является корнем (решением) второго, то второе называется следствием первого. Если заменить уравнение (неравенство) его следствием, то множество решений следствия будет содержать множество решений исходного и, помимо него, еще некоторые числа, называемые посторонними корнями (решениями) исходного уравнения (неравенства). Поэтому в процессе решения от уравнений (неравенств) переходят к следствию, нужно обуславливать изменение ОДЗ (чаще всего ее расширение), а в конце решения делать проверку и убирать посторонние корни (решения).

На свойствах функций, входящих в уравнение (неравенство), основаны и некоторые специальные методы решения. Например, решение систем линейных уравнений с помощью определителей по формулам Крамера и методом Гаусса; алгебраических уравнений высших степеней – на основе теоремы Виета и на основе теоремы Безу; показательных и логарифмических уравнений и неравенств – на основе свойства, обратного свойству монотонности функций – уравниванием оснований степеней и логарифмов; логарифмических – на основе использования определения логарифма и формул перехода от одной системы логарифмов к другой; простейших тригонометрических уравнений и неравенств – с помощью единичной окружности.

Трансцендентные уравнения и неравенства (например, простейшие уравнения sin х = lq х, 2^х – lq x = arccos х, 3^х = sin x + cos x) не имеют общего приема алгебраического решения, кроме приближенного; совсем простые можно решить графически.