3.5. Специальные методы и приемы обучения

3.5.1. Методический инструментарий учителя в данной содержательно-методической линии направлен на реализацию основной цели изучения материала – овладение учащимися аппаратом тождественных преобразований для решения основных задач алгебры. Назначение тождественных преобразований состоит в приведении их к соответствующему стандартному виду. Но недопустимо упрощение сложных выражений только ради представления их в более простом виде, мотивировка должна быть более глубокой, чем просто тренировка и заучивание тождественных преобразований учащимися. Надо приучать учащихся руководствоваться требованием: если выражение не является удобным для решения поставленной задачи, то нужно искать такие способы его пре­образования, которые обеспечивают наиболее рациональное решение задачи.

В то же время необходимо создавать у учащихся на том или ином уровне представление о логической основе правил тождественных преобразований выражений. Здесь существенную роль играет суть буквенной символики в алгебре – под буквой подразумевается некоторое множество чисел, поэтому на всем протяжении изучения тождественных преобразований нужно опираться на изученное в курсе арифметики и требования к его применению (см. п. 2,5.1.). Так, вывод правил тождественных преобразований выражений начинается, с одной стороны, с рассмотрения примеров преобразования как числовых, так и буквенных выражений, которые позволили бы заметить их общий характер и сделать индуктивные выводы, с другой – повторением аналогичных правил выполнения действий над числами и законов этих действий. Первые простейшие правила тождественных преобразований непосредственно следуют из этих законов, выраженных в буквенном виде. Например, правило раскрытия скобок следует из распределительного закона умножения относительно сложения а(в+с) = ав + вс. В дальнейшем правила и формулы тождественных преобразований выражений должны формулироваться как теоремы (например, теоремы о простейших преобразованиях степеней, корней, логарифмов, формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества) и дедуктивно доказываться. Очень полезно при этом совместное изучение прямых и обратных преобразований (напр., умножение многочленов и разложение их на множители).

Серьезной проблемой при изучении этого материала является помощь учащимся не только в понимании, но и в запоминании основных тождеств и формул. Кроме имеющихся в классе постоянных обобщающих таблиц, с этой целью используют специальные методические приемы. Первый такой прием – чтение алгебраических выражений различными способами; например, выражение а+в есть 1) а куб плюс в куб", 2) "сумма кубов чисел а и в", 3) "сумма третьих степеней букв а и в". Для этого используется как чтение учащимися, так и учителем на всех уроках, в частности, математический диктант.

Второй прием – геометрическая иллюстрация преобразований и формул, примеры которой показаны на рисунках 4 - 6. Для иллюстрации формул, в которые входят выражения третьей степени, необходимо использовать стереометрические образы (например, существует модель формулы куба суммы двух чисел в виде кубического футляра, в который вкладываются куб с ребром а, куб с ребром в, три параллелепипеда с основанием а² и высотой в, т.е. объемом а²в, и три параллелепипеда с основанием в² и высотой а, т.е. объемом ав². Ребро футляра равно (a+в).

Рис.6

Д

ля запоминания простейших свойств и соотношений между тригонометрическими функция­ми хорошо помогает их геометрическое изображение с помощью единичной окружности (например, рис. 7а помогает вспомнить знаки функций «по стрелкам» – ось OY со стрелкой – синус положителен, без стрелки – отрицателен).

Рис. 7(а)

Третий – мнемонические приёмы запоминания формул, если они существуют, например, известный приём запоминания формул приведения (рис. 7б).

Мнемонические приемы помогают не только для запоминания, но и для применения формул тождественных преобразований. Так, например, известно, что учащиеся затрудняются в подстановке в формулы выражений вместо букв: в этом случае может помочь использование некоторых "рамок" для этих выражений (рис. 8).

Рис. 8

На рисунке 9 показано выполнение с помощью «рамки» а) упражнения: Преобразовать в многочлен квадрат суммы двух выражений (х²у+Зху³)².

Рис.9

Четвертый прием (для учащихся основной школы) – использование учебных задач занимательного характера. Например, поставить вместо знака "?" нужное выражение: (?+2а⁵) = ? + 6а⁶b² + ?. Особенно такие задачи уместны в форме дидактической игры.

Пятый прием (особенно, для учащихся старшей школы) – логически осмысленное запоминание и припоминание – расположение формул группами (блоками), выделение смысловых опорных пунктов, запоминание одной (ключевой) формулы и самостоятельный вывод из нее остальных, словесные формулировки формул (причем, как слева направо, так и справа налево) и правил.

Наконец, непосредственно после изучения каждого правила, алгоритма, формулы или приема тождественного преобразования выражений нужно выполнять упражнения на их применение для решения различных задач – вычислительных, решения уравнений и неравенств и т.д.

Отметим некоторые типичные ошибки учащихся при выполнении тождественных преобразований:

1) Смешивают правила умножения степеней с правилом возведения в степень (5х²  Зх⁴ = 15х⁸).

2) Распространяют по неверной аналогии правила умножения степеней с одним основанием на случай умножения степеней с разными основаниями:

(2⁵  7³ = 14⁸).

3) Складывают показатели степеней при сложении степеней – смешивают с правилом умножения степеней (2³ + 2⁴ = 2⁷).

4) Неправильно применяют формулы (например, смешивают по неверной аналогии с распределительным законом формулу квадрата суммы:

(а + в)²= а²+ в²) или lg (а + b)=lg a + lg b) или sin( + ) = sin + sin.

5) Сокращают в алгебраической дроби по неверной аналогии не множители, а слагаемые .

6) Изменяют знак не у всех членов вычитаемого, когда вычитается многочлен (раскрытие скобок, перед которыми стоит минус) и, особенно, дробь (забывают, что дробная черта заменяет скобки).

7) Не учитывают знак подкоренного выражения при использовании основного свойства арифметического корня во многих преобразованиях с корнями и получают под корнем отрицательное число.

8) Не учитывают, что свойства арифметических корней справедливы и для корня нечетной степени из отрицательного числа.

Для предупреждения этих и других ошибок на первых этапах обучения тождественным преобразованиям, кроме использования наглядных опор, нужно выполнять и записывать действия подробнее с разъяснением смысла допущенных ошибок.

3.5.2. Овладение всякой деятельностью, как мы уже не раз отмечали, наиболее успешно достигается на основе формирования обобщенных приемов этой деятельности. Поэтому предлагаемая нами система формирования аппарата тождественных преобразований аналогична системе формирования вычислительных умений на основе формирования алгоритмов и приемов (табл. 10).

Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов тождественных преобразований выражений

Таблица 10

№	Линия	Алгоритмы и приемы преобразований
1	Целые выражения. Виды целых выражений (одночлен, многочлен), их слепень, стандартный вид, частные случаи, формулы сокращенного умножения. Действия с целыми выражениями: разложение многочлена на множители; выделение полного квадрата в трехчлене.	1. Алгоритмы выполнения основных действий с целыми выражениями. 2. Приемы разложения многочлена на множители. 3. Специальный прием выделения полного квадрата в трехчлене. 4. Обобщенный прием упрощения целого выражения. 5. Приемы доказательства тождества.
2	Рациональные выражения. Основное свойство дробно го выражения и следствия из него. Сокращение дробных выражений. Действия с рациональными выражениями.	6. Приемы записи преобразований рациональных выражений. 7. Приемы использования аналогии с действиями над рациональными числами в общих и частных случаях. 8. Обобщение приемов 4 и 5.
3	Иррациональные выражения. Основное свойство корня, простейшие преобразования корней. Действия с корнями, возведение выражений в степень с дробным показателем.	9. Специальные приемы основных преобразований арифметических корней. 10. Приемы преобразования выражений со степенями с рациональным показателем. 11. Прием доказательства неравенств. 12. Обобщение приемов 2, 4, 5 и 11.
4	Тригонометрические выражения. Основные тригонометрические тождества и следствия из них, теорема сложения и следствия из нее.	13. Специальные приемы доказательства тригонометрических тождеств с помощью единичной окружности. 14. Специальные приемы преобразований тригонометрических выражений с помощью формул. 15. Приемы вычислений с использованием тригонометрических тождеств. 16. Обобщение приемов 2. 4, 5 и 11.
5	Выражения с логарифмами. Основное логарифмическое тождество. Теоремы о логарифмировании и потенцировании.	17. Приемы преобразования выражений с логарифмами. 18. Обобщенные приемы решения основных задач тождественных преобразований выражений.

Технологическая цепочка формирования обобщенных приемов решения основных задач тождественных преобразований выражений

Покажем эту цепочку на примере формирования приема решения задачи "Упростить выражение" по мере изучения все новых видов выражений, постепенного расширения "фонда" их преобразований и соответствующих частных приемов:

1) изучение алгоритмов (частных приемов) выполнения действий "раскрыть скобки'' и "привести подобные слагаемые" в пропедевтическом курсе алгебры;

2) обобщение действий, связанных с постановкой задачи "упростить выражение" в начале систематического курса алгебры и формулировка приема решения этой задачи в виде:

- изучить особенности данного выражения,

- установить, какие из следующих тождественных преобразований и в каком порядке нужно выполнить, чтобы привести данное выражение к простейшему виду – приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок,

- выполнить выбранные преобразования, соблюдая порядок действий,

- записать ответ;

3) обобщение действий после изучения каждого нового вида выражений и их преобразований; например, после изучения темы "Многочлены" прием решения задачи "Упростить выражение" принимает вид:

- изучить особенности данного выражения,

- установить, какие из следующих тождественных преобразований и в каком порядке нужно выполнить, чтобы привести данное выражение к простейшему виду – умножение одночленов, умножение многочлена на одночлен, умножение многочлена на многочлен, использование формул сокращенного умножения, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок,

- выполнить выбранные преобразования, соблюдая порядок действий,

- записать ответ;

4) продолжение процесса обобщения приема в соответствии с развитием всей линии тождественных преобразований выражений в курсе до тех пор, пока не получится обобщенный прием, сформулированный в предыдущей главе.

Более подробно эта цепочка проиллюстрирована в статье ''Формирование приемов учебной деятельности" [Епишева О.Б. // Математика в школе, № 6, 1995, с. 26 - 29].