Действия с обыкновенными дробями умножение дробей
Умножение дробей Сокращение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно:
1) найти произведение числителей;
2) найти произведение знаменателей;
3) сократить полученную дробь, если это возможно.
Замечание. Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, нужно:
1) записать их в виде неправильных дробей;
2) выполнить умножение по правилу умножения дробей.
Использование
ЭВМ, в
частности, микрокалькулятора, должно
подчиняться не только цели, отмеченной
в п. 2.3. – применять ЭВМ только тогда,
когда можно четко и однозначно
сформулировать алгоритм решения
поставленной задачи, но и цели обучения
выбору наиболее рационального способа
вычислений. Очень интересным методическим
приемом в этом отношении является
"соревнование с микрокалькулятором"
в вычислении таких, например, выражений,
как
или
.
В первом случае рациональнее использовать
сочетание
устных и табличных вычислений, во втором
– предварительное тождественное
преобразование выражения (в результате
которого получится 1, этот ответ никогда
не получится с помощью микрокалькулятора).
Алгоритмическая (и, тем самым, информационная) направленность обучения выражается не только в обучении непосредственно алгоритмам вычислений, но и в использовании при этом алгоритмов их смежных дисциплин, а также разнообразных "бытовых" алгоритмов (например, алгоритм посадки растений, приготовления какого-либо блюда, облицовки стены плитками и т.д.). Необходимо подчеркивать алгоритмический характер методов математики в целом, приводить примеры других, невычислительных алгоритмов в курсе математики, таких, как алгоритмы решения простейших уравнений, выполнения элементарных тождественных преобразований и основных геометрических построений и других, обобщая правила решения таких задач и представляя их в виде блок-схем или с использованием алгоритмического языка.
Место "чисто арифметических задач" в обучении арифметике в школе в течение второй половины XX в. значительно уменьшилось, т.к. в связи с включением в курс арифметики элементов алгебры они все чаще решаются алгебраическим методом. Однако в условиях новой парадигмы образования в теории и практике обучения математике можно все чаще увидеть обращение к таким задачам. Овладение учащимися методами их решения позволяет осуществить не только пропедевтику обучения методам и приемам решения соответствующих типов текстовых задач алгебраическим методом, но и способствует созданию ситуаций для уровневой дифференциации обучения и интеллектуальному развитию учащихся средствами арифметики.
Традиционно
в обучении арифметике, начиная с начальной
школы, используется составление
задач учащимися, особенно
на близком учащимся (региональном)
материала, позволяющее достигать многих
целей обучения математике. Задачи можно
составлять а) по картинке, рисунку,
чертежу, на которых указаны цены, вес и
т.п. некоторых предметов; б) по числовым
таблицам (цен, скоростей, веса, времени,
расстояний и т.п.); в) по схеме-условию и
вопросу или схеме решения; г) по краткой
табличной записи; д) по числовым данным
(подбор вопроса к числовым данным}, е)
по вопросу и одному из числовых данных
(подбор недостающих данных); ж) по вопросу
(подбор данных к вопросу); з) по аналогии
с ранее решенной задачей (подбором
других числовых данных, другого сюжета,
других величин, варьированием условия
или
требования
задачи); и) по выражению или формуле,
например,
Дополняя обучение на уроке, такие задачи включаются в содержание работы математических кружков, вечеров, конкурсов, викторин и олимпиад.
2.5.2. Особенности содержания материала числовой линии, исторический подход к его изучению позволяют построить следующие методико-технологические цепочки.
Технологическая цепочка изучения числовых множеств:
Для изучения каждого числового множества учителю совместно с учащимися необходимо, на наш взгляд, выполнить следующие действия, определяемые не только психологическими, но и математическими закономерностями, а также и историей развития математики:
1) на специально подобранных задачах установить недостаточность известного на данном этапе числового множества для их решения и сделать вывод о необходимости расширения множества путем введения новых чисел;
2) показать, что невозможность решения этих задач связана с невыполнимостью какого-либо арифметического действия в известном числовом множестве, и сделать вывод: расширение числового множества путем введения новых чисел должно быть таким, чтобы в расширенном множестве выполнялось то действие, которое раньше было невыполнимо или не всегда выполнимо;
3) ввести новые числа, дать им название и определение;
4) объединить известное раньше числовое множество и множество новых чисел в одно, дать ему название и определение, проиллюстрировать на числовой прямой;
5) показать, что предыдущее множество является подмножеством нового, решая соответствующие учебные задачи;
6) определить операцию сравнения и арифметические действия над числами как элементами нового множества и вывести из них правила действий; при этом установить, что для известных ранее чисел, как для элементов нового множества, они имеют тот же смысл, что к в прежнем множестве; проиллюстрировать на числовой прямой;
7) организовать решение упражнений на все действия над числами. В ходе решения а) выделить в явном виде алгоритмы и приемы вычислений, их частые случаи, их связи и отношения с предшествующими алгоритмами и приемами; б) установить, что действие, ради которого производилось расширение числового множества, стало всегда выполнимым; в) подтвердить выполнимость в новом числовом множестве известных законов действий; полезно рассматривать графическую и другую наглядную иллюстрацию основных законов действий в каждом числовом множестве (см. рис. 2); при этом необходимо подчеркивать, что ни одно обратное действие, а из прямых – возведение в степень не подчиняется переместительному закону.
8) решить поставленные на первом этапе задачи и организовать решение текстовых арифметических задач, используя известные приемы их решения;
9) выявить алгебраическую и порядковую структуру числового множества;
10) организовать решение задач олимпиадного типа.
Замечание: последние два этапа – дополнительно для учащихся высокого уровня учебной деятельности.
Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов вычислений:
Таблица 5
|
Линия |
Алгоритмы и приемы вычислений |
1 |
Натуральные числа. Арифметические действия, возведение в степень с натуральным показателем, признаки делимости, нахождение НОД и НОК. Основные типы арифметических задач |
1. Алгоритмы выполнения арифметических действий. 2. Приемы использования таблиц. 3. Приемы использования для рационализации вычислений законов и свойств действий, тождественных преобразований, заданных числовых выражений. 4. Приемы устных вычислений. 5. Использование легко запоминаемых результатов. 6. Приемы решения задач "на движение", "на натуральные числа". |
2 |
Целые числа. Модуль числа, четная и счетная степень отрицательного числа |
7. Алгоритмы выполнения всех действий с числами разных знаков. 8. Приемы вычислений со знаком модуля. |
3 |
Рациональные числа. Уравнение дробей. Основное свойство дроби и следствия из него. Сокращение дробей и приведение к общему знаменателю. Представление обыкновенной дроби в виде десятичной. Возведение в степень с целым показателем. Пропорции. Проценты. |
9. Приемы записи вычислений с рациональными числами. 10. Алгоритмы выполнения действий с рациональными числами в частных случаях. 11. Приемы совместных вычислений с обыкновенными и десятичными дробями. 12. Приемы решения задач на отношения и проценты, "на совместную работу", "на смеси", "на среднее арифметическое". |
4 |
Действительные числа. Свойства числовых равенств и неравенств. Числовые промежутки. Основное свойство корня. Извлечение корня, действия с корнями. Возведение в степень с дробным показателем. Логарифмирование и потенцирование. |
13. Алгоритмы основных преобразований арифметических корней. 14. Алгоритмы основных действий со степенями с рациональным показателем. 15. Приемы логарифмирования и потенцирования. 16. Обобщение и систематизация приемов вычислений. 17. Обобщенные приемы решения задач на вычисление и текстовых задач. |