2.4. Основные типы математических и примеры учебных задач

2.4.1. Основные типы арифметических задач, выделенные в стандартах образования и представленные в учебниках, можно обобщить и свести к следующим: "Выполнить действия", "Вычислить значение числового выражения" (задачи-примеры), "Решить текстовую задачу" (задачи-расчеты и текстовые задачи с сюжетом). Целесообразно выделить основные задачи приближенных вычислений – прямую и обратную. Прямая: "Вычислить значение некоторой величины, заданной формулой, и найти погрешность результата", обратная: "Вычислить значение некоторых величин с заданной точностью. Определить, с какой точностью должны быть взяты значения аргументов, чтобы точность результата была не ниже заданной". Приоритетные обобщенные приемы решения основных типов задач приведены ниже.

Прием решения задачи-примера "Выполнить действия" ("Вычислить значение числового выражения"):

1) выясните характер данных чисел (точные, приближенные);

2) подумайте, как быстрее выполнить действия – устно, письменно или с помощью вспомогательных средств (таблиц, микрокалькулятора, графика);

3) подумайте, нельзя ли использовать для упрощения и рационализации вычислений законы действий, искусственные приемы вычислений, тождественные преобразования выражений;

4) выберите наиболее рациональный способ выполнения действий или их сочетание;

5) установите порядок действий, используя правило;

6) выполните действия в установленном порядке, используя алгоритмы, частные приемы или правила вычислений (устных или письменных, точных или приближенных, с помощью вспомогательных средств вычислений);

7) проверьте вычисления каким-либо способом;

8) запишите вычисления и результат, используя приемы записи.

Прием решения задачи – расчета ("Найти числовое значение выражения наиболее рациональным способом"):

1) изучите содержание задачи;

2) составьте (если нет готового) числовое выражение по условию задачи;

3) изучите особенности полученного (или данного) выражения и характер числовых данных;

4) установите, можно ли упростить выражение а) до подстановки числовых значений букв, б) после подстановки числовых значений букв;

5) если можно, упростите выражение, используя соответствующий прием, подставив числовые значения букв в случаях а) или б);

6) выполните вычисления, соблюдая порядок действий и используя соответствующие приемы вычислений;

7) запишите ответ.

Прием поиска решения текстовой арифметической задачи (с сюжетом):

1) изучите содержание задачи;

2) определите, исходя из задачной ситуации, тип задачи: а) на прямое выполнение какого-либо действия, б) "на движение", в) "на пропорции", г) "на проценты", д) "на кратное отношение искомых величин", е) "на совместную работу", ж) "на среднее арифметическое", з) "на смеси", и) "на натуральные числа" и вспомните известный прием ее решения;

3) если п. 2 не дал результата, проведите общий (нисходящий или восходя­щий) анализ, приводящий к плану решения;

4) если п. 3 не дал результата, вспомните задачу, аналогичную данной, при­ем решения которой известен, сравните их и на этой основе составьте план решения;

5) если п. 4 не дал результата, временно измените условие или требование задачи так, чтобы можно было сравнить полученную задачу с данной; затем использовать отмеченный в п. 4 прием аналогии;

Прием решения текстовой арифметической задачи:

1) изучите содержание задачи, используя приемы (краткую запись, схему, таблицу, геометрическую иллюстрацию);

2) проведите анализ - поиск решения, используя прием поиска;

3) на основе анализа или известного приема решения составьте план решения данной задачи;

4) решите задачу по составленному плану;

5) запишите решение с использованием соответствующей символики;

6) если нужно, проверьте или исследуйте решение;

7) рассмотрите другие возможные способы решения, выберите наиболее рациональный;

8) запишите решение и ответ, используя приемы записи.

Примеры частных приемов и алгоритмов

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно 1) поставить после знака равенства их общий знак; 2) сложить модули этих чисел; 3) записать результат.

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно 1) поставить после знака равенства знак числа с большим модулем; 2) из большего модуля вычесть меньший; 3) записать результат.

Чтобы умножить смешанное число на целое, нужно 1) умножить на это число целую часть; 2) умножить на это число дробную часть; 3) если нужно, во втором случае исключить целую часть; 4) сложить полученные результаты (отдельно целую и дробную части); 5) записать ответ.

Чтобы перемножить два смешанных числа, нужно 1) обратить их в неправильные дроби; 2) записать произведение числителей в числитель, а знаменателей - в знаменатель; 3) выполнить, если можно, сокращение полученной дроби; 4) записать ответ.

2.4.2. В качестве примеров специальных учебных задач, цель которых усвоение учащимися понятия числа, свойств действий над числами, алгоритмов вычислений и т.д., приводим некоторые задачи из учебника Истоминой Н.Б. "Математика-5", помещенные на с.3 под заголовком "Проверь себя! Чему ты научился в начальной школе?".

1. Даны числа: 8, 43, 384, 50 898, , 83 054, , 0, , 907 840.

а) Выпиши числа, которые используются для счета (натуральные числа).

б) Прочитай натуральные числа и запиши их сумму. Можно ли утверждать, что значение суммы – число натуральное?

в) Запиши разность шестизначного и трехзначного числа. Можно ли утверждать, что значение разности – число натуральное?

г) Запиши произведение трехзначного и двузначного числа. Можно ли утверждать, что значение произведения – число натуральное?

д) Запиши частное шестизначного и однозначного числа. Можно ли утверждать, что значение частного – число натуральное?

е) Выпиши цифры, которые использованы для записи натуральных чисел. Какие цифры ты еще знаешь?

ж) Почему 0 не является натуральным числом?

2. Даны числа: 308 403 и 380 304.

а) В чем сходство и различие данных чисел?

б) Почему эти числа можно назвать натуральными?

в) Запиши еще пять натуральных шестизначных чисел, используя эти же цифры.

г) Какое наименьшее четырехзначное число можно записать, используя цифры 3,0,8,4?

3. Перепиши числа в порядке возрастания:

309 196, 294 307, 249 308,507432, 508 939,204 703, 3 190 161, 305 073.

4. Разгадай правило, по которому записан каждый ряд чисел, и запиши еще по пять чисел в ряду: а) 30 124, 30 224,30 324,30 424,.... б) 3,9,27, 81,... в) 7 682,7 662,7 642,...

5. Чем похожи все пары выражений? Найди их значения:

89 + 47 57 + 29 76 + 57

90 + 47 57 + 30 76 + 60

Сравни равенства в каждой паре и сделай вывод.

6. Как изменится значение суммы, если:

а) первое слагаемое увеличить на 9, а второе – на 7;

б) первое слагаемое увеличить на 8, а второе – на 20;

в) первое слагаемое уменьшить на 19, а второе – на 6;

г) первое слагаемое увеличить на 8, а второе уменьшить на 6?

Запиши сумму любого четырехзначного и трехзначного числа и проверь свои ответы.

Другие примеры:

7. Какое из равенств можно назвать пропорцией:

а) 17:12 = 7 : 5; б) 5 : 20 = : ?

8. Вычислите, пользуясь определением:

а) ; б) ; в) 4^1/2; г) ; д) log₃ 9;

е) log_1/2 1; ж) log₂ 0,5; з) lg 0,001.

9. Проведите классификацию данных дробей: по двум признакам – правильная дробь и дробь со знаменателем 5.

10. Проверьте правильность классификации: целые числа делятся на простые и составные.

11. Установите связи между понятиями и составьте на этой основе родословную (в виде схемы) выделенного понятия: а) дробь, число, десятичная дробь, числитель, знаменатель.

12. Составьте алгоритм решения данной вычислительной задачи, представьте его в виде блок-схемы.

Примеры общих учебных задач, цель которых – общее развитие учащихся на материале данной линии:

1. Найдите общее свойство в последовательностях чисел (фигур на рис. 2), допишите (дорисуйте) в каждой из них по два числа (фигуры): а) 1,4,9,16,25,36,...; б) 82,97,114,133,...

Рис.2

2 . Исключите лишнее а) букву из числа данных: А, Е, И, Ю, Г, Я, Ы; б) число: 837, 612, 549, 426, 343.

3. Вставьте пропущенное слово: "дробь, (?), знаменатель".

4. Из пяти предложенных терминов выберите два, которые наиболее точно определяют данное математическое понятие: а) сумма (слагаемое, равенство, плюс, делитель, множитель); б) дробь (делимое, делитель, частное, знаменатель, произведение); в) степень (корень, показатель, решение, основание, переменная).

5. В приведенном определении выделите название определяемого объекта (термин), родовое понятие, видовые признаки и характер связи между ними: а) числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными; б)

6. Из данных понятий образуйте пары по признаку "род-вид": число, дробь, неправильная дробь, десятичная дробь, обыкновенная дробь.

7. Укажите ближайшие родовые понятия для понятий: а) степень с натуральным показателем; б) простое число; в) квадратный корень.

8. Для данных понятий укажите родовое понятие: четное число, НОК, НОД.

9. Поставьте данное понятие в разные возможные отношения с другими: дробь – число, целое число, правильная дробь.

10. Даны три понятия, между первыми двумя существует определенная связь, между третьим и одним из четырех предложенных существует аналогичная связь; найдите четвертое слово: а) слагаемое – сумма – множители – (?) (разность, произведение, делитель, умножение).

11. Заполните пропуски в данном предложении так, чтобы получилось верное определение понятия, например: "противоположными называются числа, имеющие ______ абсолютную величину, но ________знаки" или "противоположными называются числа, имеющие одинаковую _______, но противоположные _______" или "противоположными называются числа, имеющие _______" или "числа, имеющие одинаковую абсолютную величину, но противоположные знаки, называются ______".

12. Выведите следствия из определения понятий: а) правильная дробь; б) десятичная дробь; в) пропорция; на этой основе ответьте на вопросы: а) из каких отношений можно составить пропорцию: 10 : 2; 1 : 5; 1,5 : 0,3? Какие еще производные пропорции можно составить?

13. Найдите ошибку в определении понятия: а) десятичная дробь – это дробь с запятой между какими-нибудь ее цифрами; б) отношением называется сравнение двух чисел посредством деления; в) иррациональное число – это 1) «извлекаемый» корень, 2) бесконечная десятичная дробь.