14.4. Пример

На двух балках двутаврового сечения (рис. 14.5, а) установлен двигатель весом Р, делавший n оборотов в минуту. Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей двигателя, равна Н. Собственный вес балок и силы сопротивления можно не учитывать.

Требуется найти: 1) частоту собственных колебаний ω; 2) частоту изменения возмущающей силы φ; 3) коэффициент нарастания колебаний β; 4) динамический коэффициент К_Д; 5) наибольшее нормальное напряжение в балках, если дано: двутавр №20, ℓ = 1,9 м, Р = 19 кН, Н = 4 кН, n = 800 об/мин.

Решение

14.4.1. По способу Верещагина (приложение табл. 6) определяем прогиб сечения балки в месте расположения двигателя от вертикальной силы, равной единице (рис. 14.5, б):

если учесть, что

где I_X^I = 1840 см⁴ – по ГОСТ 8239-89 осевой момент инерции для двутавра №20.

Т огда

По формуле (14.10) находим частоту собственных колебаний

где g = 9,81 м/с².

14.4.2. Вертикальная составляющая центробежной силы Н представляет собой периодическую силу (14.11):

вызывающую поперечные колебания в вертикальной плоскости.

Частота изменения возмущающей силы Н(t) будет равна

где n – число оборотов вала двигателя в минуту.

14.4.3.Определяем коэффициент нарастания колебаний по формуле (14.16):

Так как коэффициент β оказался отрицательным, то в дальнейшем расчёте учитываем абсолютную величину.

1 4.4.4. По формуле (14.17) определяем динамический коэффициент

14.4.5. По формуле (14.19) определяем полное наибольшее нормальное напряжение в балке. Сечение В (рис. 14.5, а):

где W_X = 2W_X^I = 2·184 = 368 см³ = 368·10^-6 м³ (рис. 16.5, а

ГОСТ 8239-89).

Глава 15 расчёты на прочность при циклических нагрузках (усталость)

Опыт эксплуатации и исследований конструкций машин и сооружений, воспринимающих переменную циклически меняющуюся нагрузку, показывает, что часто прочность таких конструкций оказывается существенно ниже, чем при статическом нагружении.

Причиной такого поведения являются переменные напряжения. Они приводят к образованию внутри материала микротрещин между зернами материала. При определенной для каждой комбинации условий величине переменных напряжений эти трещины прогрессируют и объединяются в макротрещины. В вершинах таких макротрещин возникает большая концентрация напряжений, что ускоряет процессы и приводит к лавинообразному катастрофическому разрушению детали конструкции.

Описанные процессы были названы усталостным разрушением материала.

В настоящее время под усталостью понимают процесс постепенного накопления повреждений в материале при действии переменных напряжений, приводящих к образованию макротрещин и разрушению.

Свойство материала сопротивляться усталости называется выносливостью.

Максимальное напряжение, при котором материал способен сопротивляться, не разрушаясь, при любом произвольно большом числе повторений переменных нагрузок, называется пределом выносливости или пределом усталости.

Изменение напряжений за один период называется циклом напряжений. Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды циклов. Симметричный цикл возникает, если σ_max= σ_min, т.е. наибольшее и наименьшее напряжения цикла равны по модулю. Асимметричный цикл можно представить как сумму напряжений симметричного цикла с амплитудным значением σ_а и среднего постоянного напряжения σ_m (рис. 15.1). В случаях, когда σ_max или σ_min равны нулю, циклы называются пульсирующими или отнулевыми.

Для асимметричного цикла (рис. 15.1) будут справедливы следующие зависимости

( 15.1)

(15.2)

σ

σ_а

σ_max σ_m

σ_min

t

Рис. 15.1. Изменение напряжений во времени при

асимметричном цикле

Для характеристики цикла служит коэффициент асимметрии цикла, определяемый выражением

(15.3)

К оэффициенты запаса прочности при изгибе n_σ и при кручении n_τ определяются соответственно из выражений

(15.4)

где σ_-1, τ_-1– соответственно пределы выносливости при симметричных циклах при изгибе и кручении; К_σ, К_τ – эффективные коэффициенты концентрации; ε – масштабный коэффициент; β – коэффициент, учитывающий качество обработки поверхности; ψ_σ,ψ_τ– коэффициенты, характеризующие чувствительность материала к асимметрии цикла, соответственно, при изгибе и кручении.

Для определения коэффициентов запаса при изгибе и кручении необходимо найти максимальные напряжения соответствующих циклов по формулам изгиба и кручения, а затем остальные напряжения соответствующих циклов по их коэффициентам асимметрии и использовать их в формулах (15.4). По найденным значениям n_σ и n_τ вычисляется общий коэффициент запаса прочности и сравнивается с нормативным (заданным) значением (n > n₀):

(15.5)

Если условие прочности не выполняется (n < n₀), то производится подбор нового диаметра вала из выражения

(15.6)

где d_пр – прежний диаметр вала, для которого производится проектировочный расчёт; n – вычисленное значение коэффициента запаса прочности; n₀ – нормативное (заданное) значение коэффициента запаса прочности.

Далее все расчёты повторяются для нового диаметра вала до тех пор, пока не будет удовлетворено условие прочности.