9.3. Пример

Для балки, изображенной на рис. 9.4, а, требуется: 1) построить эпюры Q и M; 2) подобрать сечение двутавр []=160 МПа; 3) построить изогнутую ось балки аналитическим методом вычислив прогибы в характерных сечениях и в середине пролета ; 4) проверить жесткость при , если: Р=34 кН, m= 14 кНм, q=18 кН/м, ℓ=5,6 м.

Решение

9.3.1. Определение опорных реакций:

Проверка:

9.3.2. Построение эпюр Q и М

Эпюры Q и М строим методом характерных сечений.

Эпюра Q (рис. 9.4, б):

Эпюра М (рис. 9.4, в):

9.3.3. Подбор сечения

По ГОСТ 8239—89 подбираем двутавр №30, W_x=472 см³, J_x=7080 см⁴.

Жесткость поперечного сечения:

ЕJ_x=210⁵10⁶708010^-8=1416010³ Нм².

9.3.4. Построение изогнутой оси:

Дважды интегрируем:

Определяем постоянные интегрирования:

при z=0, V(0)=0, следовательно D=0;

при z=5,6 м, V(5,6) =0,

отсюда С= -49,01 кНм².

Определяем прогиб в сечении С, z =1,4 м — подставляем в уравнение прогибов:

Определяем прогиб в сечении К, z =2,8 м — подставляем в уравнение прогибов:

Определяем прогиб в сечении D, z =7 м — подставляем в уравнение прогибов:

По вычисленным значениям прогибов строим изогнутую ось балки (рис. 9.4, г). Положительные прогибы откладываем вверх (по направлению оси V), отрицательные прогибы откладываем вниз.

9.3.5. Проверка жесткости

Из рис. 11.4, г видно, что V_max = V_К = 0,541 см. Так как V_max = 0,541 см. < V = то условие жесткости выполняется.

Если условие жесткости не выполняется то необходимо увеличить жесткость сечения, приняв новое значение момента инерции:

Глава 10 внецентренное сжатие (растяжение) прямого бруса

Пусть продольная нагрузка приложена не в центре тяжести поперечного сечения стержня, а с некоторым смещением (эксцентриситетом) относительно главных осей сечения (рис. 10.1, а).

Для определения внутренних усилий, возникающих в сечении бруса при внецентренном сжатии (растяжении), вначале мысленно перенесём силу Р параллельно самой себе в центр тяжести сечения (начало координат). Возникающий при таком переносе момент пары сил разложим на два составляющих момента: М_x= -Рy_р и М_y= -Рx_р (рис. 10.1, б).

Таким образом, действие силы Р, приложенной к сечению внецентренно, эквивалентно совместному действию центрально приложенной силы Р и двух внешних сосредоточенных моментов М_Х и М_Y.

Пользуясь методом сечений, нетрудно установить, что во всех поперечных сечениях внецентренно сжатого (растянутого) бруса действуют следующие внутренние силовые факторы: продольная сила и два изгибающих момента (рис. 10.2):

N = -P , M_X = -Py_P , M_Y = -Px_P . (10.1)

При назначении знака внутреннего усилия здесь использованы общепринятые правила: продольное усилие отрицательно, если оно сжимающее, а изгибающий момент отрицателен, если в точках с положительными координатами Х и Y (первая четверть) под его действием возникают сжимающие напряжения.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса определим, используя принцип независимости действия сил. От всех внутренних усилий N, M_X и M_Y – в сечениях возникают нормальные напряжения, направленные перпендикулярно сечениям.

Д ля определения полного напряжения они суммируются:

(10.2)

Условие прочности для внецентренного растяжения или сжатия бруса имеет вид

(10.3)

Причём если материал по-разному сопротивляется растяжению и сжатию ([σ]⁺ ≠ [σ]^-), то при положительной сумме слагаемых они сравниваются с [σ]⁺, при отрицательной с [σ]^-.

П оложение нейтральной линии можно определить с помощью выражения (10.2), подставив в него выражения (10.1) и приравняв напряжения σ нулю. С учётом формул для радиусов инерции I_X = i_X²·F и I_Y = i_Y²·F получим

(10.4)

Так как P/F ≠ 0, то

(10.5)

Из формулы (10.5) видно, что нейтральная линия при внецентренном сжатии (растяжении) – это прямая, не проходящая через центр тяжести поперечного сечения (так как при Y = 0, Х ≠ 0 и наоборот). Строить эту прямую удобно с помощью отрезков (а_Х; а_Y), отсекаемых ею на осях координат (рис. 10.3).

О

(10.6)

чевидно, что точка пересечения нейтральной оси с осью Х имеет координаты а_Х; 0, а с осью Y — а_Y; 0. Подставляя последовательно эти координаты в выражение (10.5), получим:

Знак (-) в формулах (10.6) означает, что нейтральная линия обязательно проходит через четверть, противоположную той, в которой находится точка приложения силы Р (рис. 10.3).