7.5. Подбор сечения

7.5.1. На основании эпюры М определяем опасное сечение.

Опасным сечением будет сечение, где изгибающий момент достигает максимального значения по абсолютной величине │М│_мак.

7 .5.2. Определяют расчётный момент сопротивления сечения изгибу:

(7.5)

7.5.3. Подбирают размеры сечения из условия

( 7.6)

а) для прокатных профилей – по сортаменту;

б) для непрокатных профилей – методом последовательных приближений или путём выражения W_x сечения через некоторый параметр размеров сечения по формуле

(7.7)

7.6. Пример

Для заданных двух схем балок (рис. 7.3) написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти М_МАК и подобрать:

а) для схемы (а) деревянную балку круглого поперечного сечения [σ] = 8 МПа;

б) для схемы (б) сечение из швеллера [σ] = 160 МПа.

7.6.1. Схема а.

Для балки, приведённой на рис. 7.3, а, построить эпюры Q и М методом уравнений, если дано: Р₁ = 30 кН, Р₂ = 20 кН, m₁=15 кН^.м, q₁ = 5 кН/м, а = 2 м.

Решение

А. Отбрасываем связи, заменив их действия реакциями, и составляем уравнения равновесия (рис. 7.4, а), используя формулы (7.3).

П роверка:

Следовательно, реакции опор определены правильно.

Б. Разбиваем балку на участки и составляем уравнения Q и М для каждого участка, используя формулы (7.1) и (7.2).

Первый участок 0 ≤ Z₁ ≤ 2 (рис. 7.4, а)

Таблица 7.1

Z1, м	0	2
Q (Z1), кН	27,5	7,5
М (Z1), кН.м	-30	5

Второй участок 2 ≤ Z₂ ≤ 4 (рис. 7.4, а)

Таблица 7.2

Z2, м	2	4
Q (Z2), кН	-32,5	-32,5
М (Z2), кН.м	5	-60

Третий участок 4 ≤ Z₃ ≤ 6 (рис. 7.4, а)

В данном случае целесообразнее при составлении уравнений Q(z₃) и М(z₃) взять все внешние силы с правой стороны от рассматриваемого сечения.

Таблица 7.3

Z3, м	4	6
Q (Z3), кН	30	30
М (Z3), кН.м	-60	0

В. Для определения знаков слагаемых, входящих в выражения для М(z), удобно использовать следующий приём:

– мысленно представить отсечённую часть (здесь и далее левую) в виде консоли с заделкой в месте проведения сечения;

– приложить нагрузку и проанализировать характер изгиба консоли от неё, выяснить, какие волокна в сечении (заделка) растягиваются;

– присвоить знак слагаемого, учитывающего эту нагрузку, в соответствии с принятым правилом знаков.

Этот приём для второго участка проиллюстрируем на рис. 7.5.

Эпюры Q и М, построенные по значениям табл. 7.1, 7.2 и 7.3, показаны на рис. 7.4, б, в.

Г. Подбор сечения. Определяем опасное сечение и │М│_мах, используя построенную эпюру М:

│М│_мах = 60 кН^.м ( см. рис. 7.4, в).

Определяем расчётный момент сопротивления сечения изгибу

П одбираем размеры сечения из условия W_X ≥ W_{X расч.}

о ткуда

D. Для ускорения построения эпюр можно использовать способ “характерных сечений”. Характерными считаются сечения, ограничивающие участок балки. Суть способа состоит в том, что величины Q и М находятся только в этих сечениях, и для дальнейшего построения этих эпюр используют правила контроля эпюр, основанные на дифференциальных зависимостях (7.4).

7.6.2. Схема б.

Для балки, приведённой на рис. 7.3, б, построить эпюры Q и М методом характерных сечений, если дано: Р₁ = 10 кН, q₂ =20 кН/м, q₃ = 2 кН/м, а = 2 м.

Решение.

А. Для консольной балки нет необходимости определять опорные реакции, так как двигаясь со стороны консоли, мы будем знать все силы с одной стороны от сечения (рис. 7.6, а).

Б. Для построения эпюр Q и М используем метод характерных сечений:

Q₁ = -P₁ = -10 кН,

Q₂ = -P₁ = -10 кН,

Q₃ = -P₁ – q₂·2 = -10 – 20·2 = -50 кН,

Q₄ = -P₁ – q₂·2 + 2·q₃·2 = -10 – 20·2 + 2·2·2 = -42 кН.

Эпюра Q показана на рис. 7.6, б.

М₁ = 0,

М₂ = -Р₁·а= -10·2 = -20 кНм,

М₃ = -Р₁·2·а – q₂·a²/2 = -10·2·2 – 20·2²/2 = -80 кН.м,

М₄ = -Р₁·3·а – q₂·a·1,5·a + 2·q₃·a²/2 =

= -10·3·2 – 20·2·1,5·2 + 2·2·2²/2 =172 кН.м.

Эпюра М показана на рис. 7.6, в.

В. Подбор сечения

│М│_МАХ = 172 кН^.м, см. рис. 7.6, в,

Так как швеллер №40 имеет W_x=761 см³, то подбираем сечение из двух швеллеров: W_x=W_xрасч./2=1075/2=537,5 см³.

Принимаем два швеллер № 36 ГОСТ 8240-89, для которых

W_X=2601=1202 см³ > W_{x расч} = 1075 см³.