9.1. Аналитический способ определения перемещений

Аналитический способ определения перемещений заключается в составлении и последовательном интегрировании дифференциального уравнения изогнутой оси (упругой линии) балки.

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид

EI_xV^(z) =  M(z) (9.2)

где EI_x – жесткость поперечного сечения балки при изгибе; V^(z) — вторая производная от прогиба V(z) по абсциссе сечения; М(z) – изгибающий момент в произвольном сечении z.

Уравнение (9.2) может иметь два знака, потому что знак кривизны (1/ V^(z)) изогнутой оси балки может не совпадать со знаком изгибающего момента. Знак кривизны зависит от направления оси прогибов, а знак изгибающего момента выбирается в зависимости от того, где расположены растянутые волокна.

При направлении оси прогибов вверх знак изгибающего момента совпадает со знаком кривизны, которая положительна при вогнутой форме и отрицательна при выпуклой форме (рис. 9.2, а). При направлении оси прогибов вниз знак изгибающего момента не совпадает со знаком кривизны (рис. 9.2, б).

Проинтегрировав уравнение (9.2) первый раз, получим уравнение углов поворота

EI_x(z) =EI_xV^(z) =   M(z)dz + C . (9.3)

Проинтегрировав второй раз, получим уравнение прогибов

EI_xV(z) =   dz  M(z) dz + Cz+D, (9.4)

где С и D – постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий закрепления балки. Так, для балки на двух опорах (рис. 9.3) этими условиями являются равенство нулю прогибов на опорах:

при z = 0, V(0)=0,

при z = , V()=0.

Для консольной балки такими условиями будет равенство нулю угла поворота и прогиба в защемлении:

при z = 0, V(0)=0,

(0)=0.

Для балок с несколькими участками дифференциальное уравнение изогнутой оси записывается раздельно для каждого участка. При n участках в балке раздельное интегрирование n дифференциальных уравнений приводит к получению 2n постоянных интегрирования.

Для уравнивания постоянных интегрирования по всем участкам балки при составлении и интегрировании уравнения (9.2) необходимо соблюдать определенные правила (правила Клебша).

9.2. Правила Клебша

9.2.1. Начало координат выбирается либо на левом, либо на правом конце балки. Выбранное начало координат сохраняется для всех участков. При записи правой части уравнения (9.2) для участков принимаются во внимание силы, расположенные со стороны начала координат.

9.2.2. Распределенная нагрузка q, начавшись в каком-то сечении, должна распространяться до конца балки. Если это не выполняется, то на соответствующих участках прикладывают нагрузку той же интенсивности, положительную и отрицательную, что бы равновесие балки не нарушилось.

9.2.3. Внешний сосредоточенный момент умножается на фиктивное плечо вида (z - b)⁰, где b — координата сечения в котором приложен внешний сосредоточенный момент (момент от пары сил).

9.2.4. Интегрирование дифференциального уравнения производится без раскрытия скобок.

С оставим и проинтегрируем дифференциальное уравнение изогнутой оси для балки на рис. 9.3.

Поместим начало координат в сечение А. Ось прогибов V  направим вверх. Распределенную нагрузку по правилу (9.2.2) необходимо продлить до сечения В и на участке ДВ приложить компенсирующую нагрузку, направленную вверх.

Вначале запишем выражения изгибающих моментов для каждого участка, а затем включим их в одно уравнение моментов, единое для всей балки:

Здесь разграничивающая черта соответствует изгибающему моменту на каждом участке.

При интегрировании дифференциального уравнения не раскрываем скобок (четвертое правило Клебша), постоянные С и D записываем на первом участке, так как тогда они будут учитываться при рассмотрении всех остальных участков.

Интегрируем два раза дифференциальное уравнение:

(9.5)

(9.6)

Постоянные интегрирования C и D определяем из условий закрепления балки (рис. 9.3).

Прогибы в опорах А и В равны нулю. Опора А принадлежит первому участку и имеет координату z=0. Используя первый участок выражения (9.6), получим:

0 = D + С0 + 0; отсюда D=0.

Опора В принадлежит третьему участку и имеет координату z=. Используя полностью выражение (9.6) получим:

Отсюда определим постоянную интегрирования С.

После чего, из выражения (9.5) можно определить угол поворота, а из (9.6) — прогиб любого сечения, подставив координату z этого сечения.

При этом необходимо использовать ту часть выражения, которая соответствует участку, где находится данное сечение.

При определении постоянных интегрирования С и D из граничных условий, а также при определении прогибов и углов поворота в расчетных сечениях можно пользоваться "правилом отрицательного аргумента". Согласно этому правилу не учитываются слагаемые, содержащие аргумент вида (z – a), (z –b), (z– c) и т.д., принимающий отрицательное значение независимо от его показателя степени. Здесь а, b, с – координаты сечений приложения различных нагрузок.