6.5. Последовательность (алгоритм) определения положения главных центральных осей инерции и величин главных центральных моментов инерции

6.5.1. В произвольной системе координат по формулам (6.11) и (6.12) определяем положение центра тяжести для составных (сложных) сечений, разбивая их на простые.

6.5.2. Через центр тяжести сечения проводим центральные оси Х_с и Y_c, параллельные осям систем координат простых фигур.

6.5.3. Затем по формулам (6.18), (6.19) и (6.20) определяем осевые и центробежные моменты относительно центральных осей Х_с и Y_c.

6.5.4. По формуле (6.24) определяем угол α₀ , характеризующий положение главных центральных осей инерции, и по формуле (6.25) величину главных моментов инерции.

6.5.5. После вычисления величин I_U и I_V рекомендуется проверить соблюдение равенства:

( 6.26)

а также равенство нулю центробежного момента инерции относительно главных осей I_uv по формуле (6.23).

6.6. Пример

Н айти положение главных центральных осей инерции и значение главных моментов инерции для сечения состоящего из равнобокого уголка и двутавра (рис. 6.3). Вычертить сечение в масштабе 1:2 и указать на нём все размеры в числах и все оси, если дано: уголок 907, двутавр №22.

Решение

Из сортамента выбираем необходимые данные. Для уголка равнобокого 907 по ГОСТ 8509-89 b = 90 мм, d = 7 мм, z₀ = 2,47 см, F₁=12,28 см², I_x1 = I_y1 = 94,3 см⁴, I_max = 149,67 см⁴, I_min = 38,94 см⁴.

Для двутавра по ГОСТ 8239-89 h = 220 мм, b = 110 мм,

d =5,7 мм, F₂ = 30,6 см², I_x2 = 2550 см⁴, I_Y2 = 157 см⁴.

6.6.1. Проводим вспомогательную систему осей координат (Х, Y). Начало координат целесообразно расположить в центре тяжести какой-либо из фигур, например двутавра (чтобы сократить объём вычислений). Определяем координаты центра тяжести С всей фигуры в системе осей Х и Y:

где

Через центр тяжести С (рис. 6.5) проводим центральные оси Х_С и Y_C параллельно проведённым ранее собственным осям уголка и двутавра (Х₁, Y₁, Х₂, Y₂).

В системе координат центральных осей Х_С и Y_C координаты центров тяжести уголка и двутавра определяем из выражений

Данные сводим в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Точка	хi, см	yi, см	ai, см	bi, см
О1	- 2,47	13,47	9,61	- 1,76
О2	0	0	- 3,86	0,707

6.6.2. Вычисляем осевые и центробежный моменты инерции относительно центральных осей X_с, Y_с:

Для равнобокого уголка

Для двутавра

Знак центробежного момента инерции уголка определяем по следующему правилу (рис. 6.4):

Рис. 6.4. Правило знаков центробежного момента

6.6.3. Находим угол α₀ наклона главных центральных осей U и V относительно центральных осей Х_С и Y_C:

Поскольку угол α₀ положительный, главная центральная ось U откладывается относительно оси Х_С против часовой стрелки, а так как I_xc > I_yc, то ось U является осью, относительно которой момент инерции будет максимальным.

6.6.4. Вычисляем главные моменты инерции

6.6.5. Проверка