6.2. Статические моменты площади сечения. Центр тяжести сечения

Статическими моментами площади сечения, относительно осей Х и Y, лежащих в плоскости этой фигуры (рис. 6.2), называются геометрические характеристики, определяемые формулами

(6.3)

(6.4)

Если известно положение центра тяжести х_с и y_c (рис. 6.2) и его площадь F, то статические моменты определяют по формулам

(6.5)

( 6.6)

Из формул (6.5) и (6.6) следует, что статический момент площади плоской фигуры (сечения) относительно любой центральной оси равен нулю. Обратное положение также справедливо: если статический момент сечения относительно какой-либо оси равен нулю, то эта ось является центральной, т.е. проходит через центр тяжести сечения С.

В зависимости от положения сечения относительно осей координат статический момент может быть положительным или отрицательным.

Из (6.5) и (6.6) могут быть определены координаты центра тяжести фигуры:

(6.7)

(6.8)

Для вычисления статических моментов сложной фигуры её разбивают на простые части, для каждой из которых известна площадь F_i и положение центра тяжести (х_i, y_i). Статические моменты всей фигуры относительно осей X и Y определяют по формулам:

(6.9)

(6.10)

Координаты центра тяжести сложной фигуры определяют:

(6.11)

(6.12)

6.3. Моменты инерции сечений

Осевые моменты инерции площади поперечного сечения бруса относительно осей Х и Y (рис. 6.2):

(6.13)

( 6.14)

Полярный момент инерции относительно начала координат (полюса) (рис. 6.2) равен:

(6.15)

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей х, y, то ρ² = х² + y² (рис. 6. 2) и, следовательно:

( 6.16)

Центробежный момент инерции площади поперечного сечения относительно осей Х и Y (рис. 6.2.) равен:

(6.17)

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный в зависимости от положения сечения относительно осей координат может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Центробежный момент инерции фигуры относительно осей, включающих хотя бы одну ось симметрии, равен нулю.

В самом общем случае переход от любой старой к любой новой системе координат может рассматриваться как два последовательных преобразования:

1) путём параллельного переноса осей координат Х, Y в новое положение X, Y:

(6.18)

(6.19)

(6.20)

где I_xi, I_yi, I_xiyi – моменты инерции относительно центральных осей каждой из простых фигур F_i;

I_x', I_y', I_xy' – моменты инерции относительно новых осей;

a_i, b_i – соответственно расстояния от старых осей Х и Y до параллельных им новых осей Х и Y, которые в формулы (6.18), (6.19) и (6.20) входят со своими знаками;

2) путём поворота осей на угол α:

(8.21)

( 8.22)

( 8.23)

6.4. Положение главных центральных осей инерции и величина главных моментов инерции

Угол поворота одной из главных осей относительно оси Х можно найти по формуле

(6.24)

Положительный угол α₀ откладывается против часовой стрелки, а отрицательный – по ходу.

Значения главных моментов инерции I_U, I_V можно найти по формуле

(6.25)

Ось максимумов всегда составляет меньший угол с той из осей (Х или Y), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение.