5.3. Пример

Круглый стальной брус, защемленный обоими концами, нагружен тремя моментами М₁, М₂, М₃ (рис. 5.3). Требуется: 1) определить реактивные моменты, возникающие в заделках бруса; 2) построить эпюру крутящих моментов; 3) определить из расчёта на прочность диаметр бруса и округлить его значение до ближайшего стандартного размера ГОСТ 6636-69; 4) построить эпюру углов поворота; 5) найти наибольший относительный угол закручивания если дано:

а = 1,3 м, b = 1,2 м, с = 1,8 м, d=1,3 м, М₁ = 1300 Нм,

М₂ = 1200 Нм, М₃ =1800 Нм, [ τ ]= 55 МПа.

Решение

5.3.1. Составляем уравнение совместности деформаций, выражающее мысль о том, что угол поворота правого концевого сечения равен нулю.

Подставив цифровые значения, получим

отсюда М_В = 1616 Н^.м.

5.3.2. Построение эпюры М_кр. На основании метода сечений имеем, что крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, действующих по одну сторону от сечения (формула 5.1).

5.3.3. По полученным значениям строим эпюру М_кр (см. рис. 5.3, б).

Условие прочности:

г де│М_кр│_max = 1616 Нм, W_ = πd³/16.

О тсюда

Принимаем по ГОСТ 6636-69 d = 56 мм = 0,056 м.

5.3.4. Строим эпюру углов поворота. Угол закручивания на участке ℓ_i (формула 5.4):

где G = 810⁴ МПа – модуль упругости при сдвиге.

Находим углы поворота характерных сечений:

,

По данным значениям строим эпюру α (см. рис. 5.3, в)

5.3.5. Находим наибольший относительный угол закручивания

Следовательно, наибольший угол закручивания будет на участке, где момент будет максимальным.

Участок ВЕ: М_кр = 1616 Н.м,

Глава 6 геометрические характеристики плоских сечений

Прочность, жёсткость и устойчивость элементов конструкций во многом определяются формой и размерами их поперечных сечений. В расчётной практике используют так называемые геометрические характеристики сечений.

Площадь сечения является одной из геометрических характеристик, используемой, главным образом, в расчётах на растяжение и сжатие. При расчётах на кручение, изгиб, а также на устойчивость используют более сложные геометрические характеристики: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления.

При изложении вопросов геометрических характеристик будем использовать систему координат, показанную на рис. 6.1.

Геометрическими характеристиками данного сечения являются: площадь F, статические моменты S_x, S_y, радиусы инерции i_x, i_y, i_ , момент сопротивления W_x, W_y, W_ , моменты инерции I_x, I_y, I_, I_xy.

6.1. Площадь плоских сечений (фигур)

Площадь, ограниченная произвольной кривой, есть (рис. 6.2):

( 6.1)

Д ля вычисления геометрических характеристик сложных сечений они разбиваются на конечное число n простых частей. В этом случае

(6.2)